Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{8} = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{8}) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{8}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Paso 2.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Paso 2.2.4

Combina $\frac{2}{4}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Paso 2.2.5

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.2.5.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Paso 2.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Paso 2.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Paso 2.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{y^{2}}{8}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{8} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{8} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{8} (2 y y')$

Paso 2.3.4

Combina $2$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{2}{8} (y y')$

Paso 2.3.5

Combina $y$ y $\frac{2}{8}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{y \cdot 2}{8} y'$

Paso 2.3.6

Combina $\frac{y \cdot 2}{8}$ y $y'$ .

$\frac{x}{2} + \frac{y \cdot 2 y'}{8}$

Paso 2.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{x}{2} + \frac{2 \cdot y y'}{8}$

Paso 2.3.8

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 2.3.8.1

Factoriza $2$ de $2 y y'$ .

$\frac{x}{2} + \frac{2 (y y')}{8}$

Paso 2.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.8.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{x}{2} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x}{2} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{2} + \frac{y y'}{4}$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{x}{2} + \frac{y y'}{4} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $\frac{x}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y y'}{4} = - \frac{x}{2}$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{y y'}{4} = 4 (- \frac{x}{2})$

Paso 5.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{y y'}{4} = 4 (- \frac{x}{2})$

Paso 5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y y' = 4 (- \frac{x}{2})$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica $4 (- \frac{x}{2})$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{2}$ al numerador.

$y y' = 4 \frac{- x}{2}$

Paso 5.3.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y y' = 2 (2) \frac{- x}{2}$

Paso 5.3.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$y y' = 2 \cdot 2 \frac{- x}{2}$

Paso 5.3.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$y y' = 2 (- x)$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y y' = - 2 x$

Paso 5.4

Divide cada término en $y y' = - 2 x$ por $y$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y y' = - 2 x$ por $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{y}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{y}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x}{y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$