Cálculo Ejemplos

$\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = 3$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\frac{5}{x} + \frac{5}{y}) = \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{5}{x} + \frac{5}{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{y}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{y}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{y}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{y}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{y}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{5}{y}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{y}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$- 5 x^{- 2} + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = y$ .

$- 5 x^{- 2} + 5 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 5 x^{- 2} + 5 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 5 x^{- 2} + 5 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.5

Multiplica $y$ por $0$ .

$- 5 x^{- 2} + 5 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 5 x^{- 2} + 5 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.7

Resta $y'$ de $0$ .

$- 5 x^{- 2} + 5 \frac{- y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 5 x^{- 2} + 5 (- \frac{y'}{y^{2}})$

Paso 2.3.9

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 x^{- 2} - 5 \frac{y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.10

Combina $- 5$ y $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$- 5 x^{- 2} + \frac{- 5 y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 5 x^{- 2} - \frac{5 y'}{y^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{2}} - \frac{5 y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $- 5$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}} - \frac{5 y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{x^{2}} - \frac{5 y'}{y^{2}}$

Paso 3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- \frac{5}{x^{2}} - \frac{5 y'}{y^{2}} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $\frac{5}{x^{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$- \frac{5 y'}{y^{2}} = \frac{5}{x^{2}}$

Paso 5.2

Divide cada término en $- \frac{5 y'}{y^{2}} = \frac{5}{x^{2}}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- \frac{5 y'}{y^{2}} = \frac{5}{x^{2}}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{5 y'}{y^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{5}{x^{2}}}{- 1}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{5 y'}{y^{2}}}{1} = \frac{\frac{5}{x^{2}}}{- 1}$

Paso 5.2.2.2

Divide $\frac{5 y'}{y^{2}}$ por $1$ .

$\frac{5 y'}{y^{2}} = \frac{\frac{5}{x^{2}}}{- 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{5}{x^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{5 y'}{y^{2}} = - 1 \cdot \frac{5}{x^{2}}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{5}{x^{2}}$ como $- \frac{5}{x^{2}}$ .

$\frac{5 y'}{y^{2}} = - \frac{5}{x^{2}}$

Paso 5.3

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$\frac{5 y'}{y^{2}} y^{2} = - \frac{5}{x^{2}} y^{2}$

Paso 5.4

Simplifica.

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Paso 5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y'}{y^{2}} y^{2} = - \frac{5}{x^{2}} y^{2}$

Paso 5.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$5 y' = - \frac{5}{x^{2}} y^{2}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica $- \frac{5}{x^{2}} y^{2}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{5}{x^{2}}$ .

$5 y' = - \frac{y^{2} \cdot 5}{x^{2}}$

Paso 5.4.2.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$5 y' = - \frac{5 y^{2}}{x^{2}}$

Paso 5.5

Divide cada término en $5 y' = - \frac{5 y^{2}}{x^{2}}$ por $5$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $5 y' = - \frac{5 y^{2}}{x^{2}}$ por $5$ .

$\frac{5 y'}{5} = \frac{- \frac{5 y^{2}}{x^{2}}}{5}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y'}{5} = \frac{- \frac{5 y^{2}}{x^{2}}}{5}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \frac{5 y^{2}}{x^{2}}}{5}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = - \frac{5 y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 5.5.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.5.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5 y^{2}}{x^{2}}$ al numerador.

$y' = \frac{- 5 y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 5.5.3.2.2

Factoriza $5$ de $- 5 y^{2}$ .

$y' = \frac{5 (- y^{2})}{x^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 5.5.3.2.3

Cancela el factor común.

$y' = \frac{5 (- y^{2})}{x^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 5.5.3.2.4

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y^{2}}{x^{2}}$

Paso 5.5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$