Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Paso 2.2.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Paso 2.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Paso 2.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Paso 2.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Paso 2.2.8

Resta $4$ de $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = y^{2}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.5

Multiplica $y^{2}$ por $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - 2 (y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.8

Resta $2 y y'$ de $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{{(y^{2})}^{2}}$

Paso 2.3.9

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.9.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{y^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.3.9.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{y^{4}}$

Paso 2.3.10

Cancela el factor común de $y$ y $y^{4}$ .

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Paso 2.3.10.1

Factoriza $y$ de $- 2 y y'$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y^{4}}$

Paso 2.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.10.2.1

Factoriza $y$ de $y^{4}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Paso 2.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Paso 2.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y'}{y^{3}}$

Paso 2.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 2 x^{- 3} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Paso 2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $\frac{2}{x^{3}}$ a ambos lados de la ecuación.

$- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$

Paso 5.2

Divide cada término en $- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 y'}{y^{3}}}{- 1} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{2 y'}{y^{3}}}{1} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

Paso 5.2.2.2

Divide $\frac{2 y'}{y^{3}}$ por $1$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = - 1 \cdot \frac{2}{x^{3}}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{2}{x^{3}}$ como $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = - \frac{2}{x^{3}}$

Paso 5.3

Multiplica ambos lados por $y^{3}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} y^{3} = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

Paso 5.4

Simplifica.

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Paso 5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1.1

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 5.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y'}{y^{3}} y^{3} = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

Paso 5.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 y' = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica $- \frac{2}{x^{3}} y^{3}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Combina $y^{3}$ y $\frac{2}{x^{3}}$ .

$2 y' = - \frac{y^{3} \cdot 2}{x^{3}}$

Paso 5.4.2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{3}$ .

$2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$

Paso 5.5

Divide cada término en $2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ por $2$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.5.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ al numerador.

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.5.3.2.2

Factoriza $2$ de $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.5.3.2.3

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.5.3.2.4

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y^{3}}{x^{3}}$

Paso 5.5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{3}}{x^{3}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{3}}{x^{3}}$