Cálculo Ejemplos

$x^{5} + y^{3} = \frac{1}{y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{5} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{y})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} + y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 x^{4} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$5 x^{4} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 x^{4} + 3 y^{2} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 3.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{y \cdot 0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 3.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.3.1

Multiplica $y$ por $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 3.2.3.2

Resta $\frac{d}{d x} [y]$ de $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 3.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \frac{y'}{y^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$5 x^{4} + 3 y^{2} y' = - \frac{y'}{y^{2}}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$(5 x^{4} + 3 y^{2} y') y^{2} = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $(5 x^{4} + 3 y^{2} y') y^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y^{2} y' y^{2} = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.1.2.1

Mueve $y^{2}$ .

$5 x^{4} y^{2} + 3 (y^{2} y^{2}) y' = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Paso 5.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y^{2 + 2} y' = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Paso 5.2.1.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$5 x^{4} y^{2} + 3 y^{4} y' = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Paso 5.2.1.1.3

Mueve $y^{4}$ .

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y'}{y^{2}}$ al numerador.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = \frac{- y'}{y^{2}} y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = \frac{- y'}{y^{2}} y^{2}$

Paso 5.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = - y'$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Suma $y'$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} + y' = 0$

Paso 5.3.2

Resta $5 x^{4} y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y' y^{4} + y' = - 5 x^{4} y^{2}$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $3 y' y^{4} + y'$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $y'$ de $3 y' y^{4}$ .

$y' (3 y^{4}) + y' = - 5 x^{4} y^{2}$

Paso 5.3.3.2

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' (3 y^{4}) + y' = - 5 x^{4} y^{2}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (3 y^{4}) + y' \cdot 1 = - 5 x^{4} y^{2}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $y'$ de $y' (3 y^{4}) + y' \cdot 1$ .

$y' (3 y^{4} + 1) = - 5 x^{4} y^{2}$

Paso 5.3.4

Divide cada término en $y' (3 y^{4} + 1) = - 5 x^{4} y^{2}$ por $3 y^{4} + 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.4.1

Divide cada término en $y' (3 y^{4} + 1) = - 5 x^{4} y^{2}$ por $3 y^{4} + 1$ .

$\frac{y' (3 y^{4} + 1)}{3 y^{4} + 1} = \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

Paso 5.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.4.2.1

Cancela el factor común de $3 y^{4} + 1$ .

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Paso 5.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 y^{4} + 1)}{3 y^{4} + 1} = \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

Paso 5.3.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

Paso 5.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$