Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3}}{4} - 3 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{3}}{4} - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{3}}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Paso 1.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Paso 1.1.2.4

Combina $\frac{3}{4}$ y $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3 \frac{d}{d x} x$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 x^{2}}{4} - 3$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$

Paso 2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{3 x^{2}}{4} = 3$

Paso 2.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Paso 2.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1.1

Simplifica $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4}$ .

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Paso 2.4.1.1.1

Combinar.

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Paso 2.4.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.4.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Paso 2.4.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Paso 2.4.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Paso 2.4.1.1.3.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Paso 2.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} = 4$

Paso 2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 2.6

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 2.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 2.6.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 2.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 2.7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 2.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $2, - 2$ .

$2, - 2$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = \frac{3 {(- 3)}^{2}}{4} - 3$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 3) = \frac{3 \cdot 9}{4} - 3$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $9$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} - 3$

Paso 5.2.2

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 5.2.3

Combina $- 3$ y $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 3) = \frac{27 - 3 \cdot 4}{4}$

Paso 5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f' (- 3) = \frac{27 - 12}{4}$

Paso 5.2.5.2

Resta $12$ de $27$ .

$f' (- 3) = \frac{15}{4}$

Paso 5.2.6

La respuesta final es $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

Paso 5.3

En $x = - 3$ la derivada es $\frac{15}{4}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 2)$ .

Incremento en $(- \infty, - 2)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{4} - 3$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = \frac{3 \cdot 0}{4} - 3$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f' (0) = \frac{0}{4} - 3$

Paso 6.2.1.3

Divide $0$ por $4$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Paso 6.2.2

Resta $3$ de $0$ .

$f' (0) = - 3$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 6.3

En $x = 0$ la derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 2, 2)$ .

Decrecimiento en $(- 2, 2)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = \frac{3 {(3)}^{2}}{4} - 3$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $3$ por ${(3)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.1.1.1

Multiplica $3$ por ${(3)}^{2}$ .

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Paso 7.2.1.1.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$f' (3) = \frac{3 {(3)}^{2}}{4} - 3$

Paso 7.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (3) = \frac{3^{1 + 2}}{4} - 3$

Paso 7.2.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f' (3) = \frac{3^{3}}{4} - 3$

Paso 7.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} - 3$

Paso 7.2.2

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.2.3

Combina $- 3$ y $\frac{4}{4}$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (3) = \frac{27 - 3 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f' (3) = \frac{27 - 12}{4}$

Paso 7.2.5.2

Resta $12$ de $27$ .

$f' (3) = \frac{15}{4}$

Paso 7.2.6

La respuesta final es $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

Paso 7.3

En $x = 3$ la derivada es $\frac{15}{4}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(2, \infty)$ .

Incremento en $(2, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 2, 2)$

Paso 9