Cálculo Ejemplos

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 2 y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2 y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = y$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{x y' - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x y' - y \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

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Paso 2.3.1

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Combina los términos.

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Paso 2.4.1.1

Para escribir $\frac{x y' - y}{x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.1.2

Para escribir $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 2.4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x^{2} y^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1.3.1

Multiplica $\frac{x y' - y}{x^{2}}$ por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 2.4.1.3.2

Multiplica $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{(y - x y') x^{2}}{y^{2} x^{2}}$

Paso 2.4.1.3.3

Reordena los factores de $y^{2} x^{2}$ .

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{(y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Paso 2.4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x y' - y) y^{2} + (y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} = 2 y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2})$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Cancela el factor común de $x^{2} y^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} (x y') + y^{2} (- y) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y^{2} x y' - y^{2} y + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.2.3

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.1.2.3.1

Mueve $y$ .

$y^{2} x y' - (y \cdot y^{2}) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.2.3.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.2.3.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{2} x y' - (y^{1} y^{2}) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{2} x y' - y^{1 + 2} + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.2.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y + x^{2} (- x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{2} (x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.2.6

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.1.2.6.1

Mueve $x$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - (x \cdot x^{2}) y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.2.6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.2.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - (x^{1} x^{2}) y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{1 + 2} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.2.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1.1.3.1

Mueve $y^{2}$ .

$x y' y^{2} - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.3.2

Reordena $x$ y $y'$ .

$y' x y^{2} - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.3.3

Mueve $x^{3}$ .

$y' x y^{2} - y^{3} + x^{2} y - y' x^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.3.4

Mueve $- y^{3}$ .

$y' x y^{2} + x^{2} y - y' x^{3} - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.3.5

Mueve $x^{2} y$ .

$y' x y^{2} - y' x^{3} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.3.6

Reordena $y' x y^{2}$ y $- y' x^{3}$ .

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' x^{2} y^{2}$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Resta $2 y' x^{2} y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} - 2 y' x^{2} y^{2} = 0$

Paso 5.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.2.1

Resta $x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} - y^{3} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y$

Paso 5.3.2.2

Suma $y^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

Paso 5.3.3

Factoriza $y' x$ de $- y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2}$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $y' x$ de $- y' x^{3}$ .

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $y' x$ de $y' x y^{2}$ .

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $y' x$ de $- 2 y' x^{2} y^{2}$ .

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} + y' x (- 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $y' x$ de $y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2}$ .

$y' x (- 1 x^{2} + y^{2}) + y' x (- 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Paso 5.3.3.5

Factoriza $y' x$ de $y' x (- 1 x^{2} + y^{2}) + y' x (- 2 x y^{2})$ .

$y' x (- 1 x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Paso 5.3.4

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Paso 5.3.5

Divide cada término en $y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$ por $x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})$ y simplifica.

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Paso 5.3.5.1

Divide cada término en $y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$ por $x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})$ .

$\frac{y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.5.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.2.2

Cancela el factor común de $- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}$ .

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Paso 5.3.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.5.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 5.3.5.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $- x^{2} y$ .

$y' = \frac{x (- x y)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.5.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x (- x y)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.2

Para escribir $- \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.5.3.3.1

Multiplica $\frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{x y x}{(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.3.2

Reordena los factores de $(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x$ .

$y' = - \frac{x y x}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- x y x + y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.5.3.5.1

Factoriza $y$ de $- x y x + y^{3}$ .

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Paso 5.3.5.3.5.1.1

Factoriza $y$ de $- x y x$ .

$y' = \frac{y (- x \cdot x) + y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.5.1.2

Factoriza $y$ de $y^{3}$ .

$y' = \frac{y (- x \cdot x) + y \cdot y^{2}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.5.1.3

Factoriza $y$ de $y (- x \cdot x) + y \cdot y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- x \cdot x + y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.5.2

Reescribe $x \cdot x$ como $x^{2}$ .

$y' = \frac{y (- x^{2} + y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.5.3

Reordena $- x^{2}$ y $y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y^{2} - x^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.5.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = x$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.3.5.3.6.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2}) + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.6.2

Factoriza $- 1$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2}) - 1 (- y^{2}) - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.6.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2}) - 2 x y^{2})}$

Paso 5.3.5.3.6.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 x y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2}) - (2 x y^{2}))}$

Paso 5.3.5.3.6.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - y^{2}) - (2 x y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2}))}$

Paso 5.3.5.3.6.6

Reescribe los negativos.

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Paso 5.3.5.3.6.6.1

Reescribe $- (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})$ como $- 1 (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- 1 (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2}))}$

Paso 5.3.5.3.6.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y (y + x) (y - x)}{x (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + x) (y - x)}{x (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})}$