Cálculo Ejemplos

$y^{2} (2 - x) = x^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2} (2 - x)) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y^{2}$ y $g (x) = 2 - x$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [2 - x] + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y^{2} (- 1 \cdot 1) + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y^{2} \cdot - 1 + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$- 1 \cdot y^{2} + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.6.3

Reescribe $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$- y^{2} + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- y^{2} + (2 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- y^{2} + (2 - x) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- y^{2} + (2 - x) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $2 - x$ .

$- y^{2} + 2 \cdot (2 - x) y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- y^{2} + 2 (2 - x) y y'$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- y^{2} + (2 \cdot 2 + 2 (- x)) y y'$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- y^{2} + (2 \cdot 2 y + 2 (- x) y) y'$

Paso 2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- y^{2} + 2 \cdot 2 y y' + 2 (- x) y y'$

Paso 2.6.4

Combina los términos.

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Paso 2.6.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- y^{2} + 4 y y' + 2 (- x) y y'$

Paso 2.6.4.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- y^{2} + 4 y y' - 2 x y y'$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- y^{2} + 4 y y' - 2 x y y' = 3 x^{2}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y y' - 2 x y y' = 3 x^{2} + y^{2}$

Paso 5.2

Factoriza $2 y y'$ de $4 y y' - 2 x y y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2 y y'$ de $4 y y'$ .

$2 y y' \cdot 2 - 2 x y y' = 3 x^{2} + y^{2}$

Paso 5.2.2

Factoriza $2 y y'$ de $- 2 x y y'$ .

$2 y y' \cdot 2 + 2 y y' (- x) = 3 x^{2} + y^{2}$

Paso 5.2.3

Factoriza $2 y y'$ de $2 y y' \cdot 2 + 2 y y' (- x)$ .

$2 y y' (2 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$

Paso 5.3

Divide cada término en $2 y y' (2 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$ por $2 y (2 - x)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $2 y y' (2 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$ por $2 y (2 - x)$ .

$\frac{2 y y' (2 - x)}{2 y (2 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y' (2 - x)}{2 y (2 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (2 - x)}{y (2 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (2 - x)}{y (2 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (2 - x)}{2 - x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $2 - x$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 - x)}{2 - x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y \cdot y}{2 y (2 - x)}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.2.1

Factoriza $y$ de $2 y (2 - x)$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y \cdot y}{y (2 (2 - x))}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y \cdot y}{y (2 (2 - x))}$

Paso 5.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y}{2 (2 - x)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y}{2 (2 - x)}$