Cálculo Ejemplos

$\frac{x y - y^{2}}{y - x} = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\frac{x y - y^{2}}{y - x}) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x y - y^{2}$ y $g (x) = y - x$ .

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [x y - y^{2}] - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x y - y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{(y - x) (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$\frac{(y - x) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.5.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.5.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - (2 u \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - (2 y \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 (y \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.8

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.9

Según la regla de la suma, la derivada de $y - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.10

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.13

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14

Simplifica.

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Paso 2.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.14.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.14.2.1.1

Expande $(y - x) (x y' + y - 2 y y')$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{y (x y') + y \cdot y + y (- 2 y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.14.2.1.2.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} + y (- 2 y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y (y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.1.2.3

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.14.2.1.2.3.1

Mueve $y$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 (y \cdot y) y' - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.1.2.3.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.1.2.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.14.2.1.2.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - (x \cdot x) y' - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.1.2.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.1.2.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 2 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.1.3

Suma $y (x y')$ y $2 x y y'$ .

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Paso 2.14.2.1.3.1

Reordena $y$ y $x$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + x y y' + 2 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.1.3.2

Suma $x y y'$ y $2 x y y'$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.1.4

Multiplica $- - y^{2}$ .

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Paso 2.14.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- x y + 1 y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.1.4.2

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- x y + y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.1.5

Expande $(- x y + y^{2}) (y' - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.14.2.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y (y' - 1) + y^{2} (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' - x y \cdot - 1 + y^{2} (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' - x y \cdot - 1 + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.14.2.1.6.1

Multiplica $- x y \cdot - 1$ .

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Paso 2.14.2.1.6.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + 1 x y + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.1.6.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.1.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - 1 \cdot y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.1.6.3

Reescribe $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.2

Combina los términos opuestos en $y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - y^{2}$ .

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Paso 2.14.2.2.1

Suma $- x y$ y $x y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + 0 + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.2.2

Suma $y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y'$ y $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.2.3

Resta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y' + 0}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.2.4

Suma $- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y'$ y $0$ .

$\frac{- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y'}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.3

Suma $- 2 y^{2} y'$ y $y^{2} y'$ .

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y'}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.2.4

Resta $x y y'$ de $3 x y y'$ .

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.14.3

Reordena los términos.

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.14.4.1

Factoriza $y'$ de $- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'$ .

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Paso 2.14.4.1.1

Factoriza $y'$ de $- y^{2} y'$ .

$\frac{y' (- y^{2}) - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.1.2

Factoriza $y'$ de $- x^{2} y'$ .

$\frac{y' (- y^{2}) + y' (- x^{2}) + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.1.3

Factoriza $y'$ de $2 x y y'$ .

$\frac{y' (- y^{2}) + y' (- x^{2}) + y' (2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.1.4

Factoriza $y'$ de $y' (- y^{2}) + y' (- x^{2})$ .

$\frac{y' (- y^{2} - x^{2}) + y' (2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.1.5

Factoriza $y'$ de $y' (- y^{2} - x^{2}) + y' (2 x y)$ .

$\frac{y' (- y^{2} - x^{2} + 2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.14.4.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 2.14.4.2.1.1

Reordena los términos.

$\frac{y' (- x^{2} - y^{2} + 2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.2.1.2

Reordena $- y^{2}$ y $2 x y$ .

$\frac{y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.2.1.3

Factoriza $2$ de $2 x y$ .

$\frac{y' (- x^{2} + 2 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.2.1.4

Reescribe $2$ como $1$ más $1$

$\frac{y' (- x^{2} + (1 + 1) (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y' (- x^{2} + 1 (x y) + 1 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.2.1.6

Multiplica $x y$ por $1$ .

$\frac{y' (- x^{2} + x y + 1 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.2.1.7

Multiplica $x y$ por $1$ .

$\frac{y' (- x^{2} + x y + x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.14.4.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{y' ((- x^{2} + x y) + x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{y' (x (- x + y) - y (- x + y))}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + y$ .

$\frac{y' ((- x + y) (x - y))}{{(- x + y)}^{2}}$

$\frac{y' (- x + y) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.3

Combina exponentes.

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Paso 2.14.4.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{y' (- (x) + y) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$\frac{y' (- (x) - 1 (- y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{y' (- (x - y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.3.4

Reescribe $- (x - y)$ como $- 1 (x - y)$ .

$\frac{y' (- 1 (x - y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.3.5

Eleva $x - y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y' \cdot - 1 ({(x - y)}^{1} (x - y))}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.3.6

Eleva $x - y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y' \cdot - 1 ({(x - y)}^{1} {(x - y)}^{1})}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y' \cdot - 1 {(x - y)}^{1 + 1}}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{y' \cdot - 1 {(x - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.4.4

Factoriza el negativo.

$\frac{- y' {(x - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.5

Cancela el factor común de ${(x - y)}^{2}$ y ${(- x + y)}^{2}$ .

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Paso 2.14.5.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{- y' {(- 1 (- x) - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.5.2

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{- y' {(- 1 (- x) - (y))}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.5.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - (y)$ .

$\frac{- y' {(- 1 (- x + y))}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.5.4

Aplica la regla del producto a $- 1 (- x + y)$ .

$\frac{- y' ({(- 1)}^{2} {(- x + y)}^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.5.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- y' (1 {(- x + y)}^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.5.6

Multiplica ${(- x + y)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{- y' {(- x + y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.5.7

Cancela el factor común.

$\frac{- y' {(- x + y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.14.5.8

Divide $- y'$ por $1$ .

$- y'$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- y' = 0$

Paso 5

Divide cada término en $- y' = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $- y' = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- y'}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y'}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 5.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{0}{- 1}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$y' = 0$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 0$