Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sqrt{2 + 9 \sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{\sqrt{2 + 9 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 + 9 x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Paso 1.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int \frac{{(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Paso 1.4

Mueve $x^{\frac{2}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Paso 1.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 1.5.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Paso 1.5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Paso 1.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 2

Sea $u = 2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ . Entonces $d u = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$ , de modo que $- d u = \frac{- 3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$0 + 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 2.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 2.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 2.1.3.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 2.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 2.1.3.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$0 + 9 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 2.1.3.9

Combina $9$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$0 + \frac{9 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 2.1.3.10

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{9}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.3.11

Factoriza $3$ de $9$ .

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.3.12.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Paso 2.1.3.12.2

Cancela el factor común.

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.3.12.3

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.4

Suma $0$ y $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{9} {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} + C$