Cálculo Ejemplos

$y^{3} e^{x} + x = y^{6} x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{3} e^{x} + x) = \frac{d}{d x} (y^{6} x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} e^{x} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3} e^{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y^{3}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$y^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.5

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$y^{3} e^{x} + 3 e^{x} y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y^{3} e^{x} + 3 e^{x} y^{2} y' + 1$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reordena los términos.

$e^{x} y^{3} + 3 e^{x} y^{2} y' + 1$

Paso 2.4.2

Reordena los factores en $e^{x} y^{3} + 3 e^{x} y^{2} y' + 1$ .

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} e^{x} y' + 1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y^{6}$ y $g (x) = x$ .

$y^{6} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y^{6} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Paso 3.2.2

Multiplica $y^{6}$ por $1$ .

$y^{6} + x \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$y^{6} + x (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$y^{6} + x (6 u^{5} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$y^{6} + x (6 y^{5} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$y^{6} + 6 \cdot x y^{5} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{6} + 6 x y^{5} y'$

Paso 3.6

Reordena los términos.

$y^{6} + 6 y^{5} x y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} e^{x} y' + 1 = y^{6} + 6 y^{5} x y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reordena los factores en $y^{3} e^{x} + 3 y^{2} e^{x} y' + 1$ .

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} y' e^{x} + 1 = y^{6} + 6 y^{5} x y'$

Paso 5.2

Resta $6 y^{5} x y'$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} y' e^{x} + 1 - 6 y^{5} x y' = y^{6}$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $y^{3} e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' e^{x} + 1 - 6 y^{5} x y' = y^{6} - y^{3} e^{x}$

Paso 5.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' e^{x} - 6 y^{5} x y' = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

Paso 5.4

Factoriza $3 y^{2} y'$ de $3 y^{2} y' e^{x} - 6 y^{5} x y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $3 y^{2} y'$ de $3 y^{2} y' e^{x}$ .

$3 y^{2} y' e^{x} - 6 y^{5} x y' = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

Paso 5.4.2

Factoriza $3 y^{2} y'$ de $- 6 y^{5} x y'$ .

$3 y^{2} y' e^{x} + 3 y^{2} y' (- 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

Paso 5.4.3

Factoriza $3 y^{2} y'$ de $3 y^{2} y' e^{x} + 3 y^{2} y' (- 2 y^{3} x)$ .

$3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

Paso 5.5

Divide cada término en $3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$ por $3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$ por $3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ .

$\frac{3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

Paso 5.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{e^{x} - 2 y^{3} x} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Paso 5.5.2.3

Cancela el factor común de $e^{x} - 2 y^{3} x$ .

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Paso 5.5.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{e^{x} - 2 y^{3} x} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Paso 5.5.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.1.1

Cancela el factor común de $y^{6}$ y $y^{2}$ .

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Paso 5.5.3.1.1.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{6}$ .

$y' = \frac{y^{2} y^{4}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Paso 5.5.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.1.1.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ .

$y' = \frac{y^{2} y^{4}}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Paso 5.5.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y^{2} y^{4}}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Paso 5.5.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Paso 5.5.3.1.2

Cancela el factor común de $y^{3}$ y $y^{2}$ .

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Paso 5.5.3.1.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $- y^{3} e^{x}$ .

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{y^{2} (- y e^{x})}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Paso 5.5.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.1.2.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ .

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{y^{2} (- y e^{x})}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Paso 5.5.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{y^{2} (- y e^{x})}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Paso 5.5.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Paso 5.5.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Paso 5.5.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$