Cálculo Ejemplos

$y = {(6 x - 5)}^{2} {(3 - x^{5})}^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(6 x - 5)}^{2} {(3 - x^{5})}^{2})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Reescribe ${(6 x - 5)}^{2}$ como $(6 x - 5) (6 x - 5)$ .

$\frac{d}{d x} [(6 x - 5) (6 x - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Paso 3.2

Expande $(6 x - 5) (6 x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(6 x (6 x - 5) - 5 (6 x - 5)) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(6 x (6 x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x - 5)) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [(6 x (6 x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Paso 3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [(6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [(6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [(6 \cdot 6 x^{2} + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{d}{d x} [(36 x^{2} + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- 5$ por $6$ .

$\frac{d}{d x} [(36 x^{2} - 30 x - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $6$ por $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [(36 x^{2} - 30 x - 30 x - 5 \cdot - 5) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [(36 x^{2} - 30 x - 30 x + 25) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Paso 3.3.2

Resta $30 x$ de $- 30 x$ .

$\frac{d}{d x} [(36 x^{2} - 60 x + 25) {(3 - x^{5})}^{2}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 36 x^{2} - 60 x + 25$ y $g (x) = {(3 - x^{5})}^{2}$ .

$(36 x^{2} - 60 x + 25) \frac{d}{d x} [{(3 - x^{5})}^{2}] + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 3 - x^{5}$ .

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Paso 3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 - x^{5}$ .

$(36 x^{2} - 60 x + 25) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(36 x^{2} - 60 x + 25) (2 u \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Paso 3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - x^{5}$ .

$(36 x^{2} - 60 x + 25) (2 (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Paso 3.6

Diferencia.

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Paso 3.6.1

Mueve $2$ a la izquierda de $36 x^{2} - 60 x + 25$ .

$2 \cdot (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [3 - x^{5}] + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Paso 3.6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$2 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Paso 3.6.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Paso 3.6.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$2 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [- x^{5}] + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Paso 3.6.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) (- \frac{d}{d x} [x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Paso 3.6.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}] + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Paso 3.6.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- 2 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) (5 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Paso 3.6.8

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Paso 3.6.9

Según la regla de la suma, la derivada de $36 x^{2} - 60 x + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 3.6.10

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 3.6.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 3.6.12

Multiplica $2$ por $36$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 3.6.13

Como $- 60$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 60 x$ con respecto a $x$ es $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 3.6.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 3.6.15

Multiplica $- 60$ por $1$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 + \frac{d}{d x} [25])$

Paso 3.6.16

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 + 0)$

Paso 3.6.17

Suma $72 x - 60$ y $0$ .

$- 10 (36 x^{2} - 60 x + 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(- 10 (36 x^{2}) - 10 (- 60 x) - 10 \cdot 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$

Paso 3.7.2

Multiplica $36$ por $- 10$ .

$(- 360 x^{2} - 10 (- 60 x) - 10 \cdot 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$

Paso 3.7.3

Multiplica $- 60$ por $- 10$ .

$(- 360 x^{2} + 600 x - 10 \cdot 25) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$

Paso 3.7.4

Multiplica $- 10$ por $25$ .

$(- 360 x^{2} + 600 x - 250) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$

Paso 3.7.5

Factoriza $3 - x^{5}$ de $(- 360 x^{2} + 600 x - 250) (3 - x^{5}) x^{4} + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$ .

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Paso 3.7.5.1

Factoriza $3 - x^{5}$ de $(- 360 x^{2} + 600 x - 250) (3 - x^{5}) x^{4}$ .

$(3 - x^{5}) ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$

Paso 3.7.5.2

Factoriza $3 - x^{5}$ de ${(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$ .

$(3 - x^{5}) ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4}) + (3 - x^{5}) ((3 - x^{5}) (72 x - 60))$

Paso 3.7.5.3

Factoriza $3 - x^{5}$ de $(3 - x^{5}) ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4}) + (3 - x^{5}) ((3 - x^{5}) (72 x - 60))$ .

$(3 - x^{5}) ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4} + (3 - x^{5}) (72 x - 60))$

Paso 3.7.6

Reordena los factores de $(3 - x^{5}) ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4} + (3 - x^{5}) (72 x - 60))$ .

$((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4} + (3 - x^{5}) (72 x - 60)) (3 - x^{5})$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4} + (3 - x^{5}) (72 x - 60)) (3 - x^{5})$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = ((- 360 x^{2} + 600 x - 250) x^{4} + (3 - x^{5}) (72 x - 60)) (3 - x^{5})$