Cálculo Ejemplos

$y = - \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ como ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4} \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.2.2.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{4}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{4}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{4}$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.6.2

Resta $4$ de $- 1$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.7

Combina fracciones.

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Paso 4.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.7.2

Combina $x^{- \frac{5}{4}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$- - \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.7.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.7.3.2

Multiplica $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ por $1$ .

$\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.7.3.3

Mueve $x^{- \frac{5}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot 0$

Paso 4.9

Simplifica la expresión.

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Paso 4.9.1

Multiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ por $0$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}} + 0$

Paso 4.9.2

Suma $\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$ y $0$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$