Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{3}}{x - 1}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x - 1})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x - 1$ .

$\frac{3 \cdot (x - 1) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 x + 3 \cdot - 1) x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.3.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.3.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.2

Resta $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{3} - 3 x^{2}$ .

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Paso 3.3.4.1

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 x) - 3 x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.4.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 3}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.4.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 3$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{x^{2} (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$