Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2}}{1 - x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{1 - x})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(1 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $1 - x$ .

$\frac{2 \cdot (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (1 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (1 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.2.7

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 (1 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.2.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.2.9

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x)) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x)) + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.3.3.2

Suma $- 2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.5

Factoriza $x$ de $- x^{2} + 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.1

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 2 x}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.5.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.5.3

Factoriza $x$ de $x (- x) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.7

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 2))}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x - 2))}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.9

Reescribe $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 2))}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x (x - 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{x (x - 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x - 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$