Cálculo Ejemplos

$y = {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{4}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{4})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(2 x - 4)}^{5}$ y $g (x) = {(1 - x^{3})}^{4}$ .

${(2 x - 4)}^{5} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{3})}^{4}] + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 1 - x^{3}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 - x^{3}$ .

${(2 x - 4)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

${(2 x - 4)}^{5} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 - x^{3}$ .

${(2 x - 4)}^{5} (4 {(1 - x^{3})}^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de ${(2 x - 4)}^{5}$ .

$4 \cdot {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{3}] + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$4 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Paso 3.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Paso 3.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$4 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} \frac{d}{d x} [- x^{3}] + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Paso 3.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{3}]) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Paso 3.3.6

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 4 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} (3 x^{2}) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Paso 3.3.8

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = 2 x - 4$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x - 4$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + {(1 - x^{3})}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [2 x - 4])$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + {(1 - x^{3})}^{4} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 4])$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x - 4$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + {(1 - x^{3})}^{4} (5 {(2 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 4])$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Mueve $5$ a la izquierda de ${(1 - x^{3})}^{4}$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 \cdot {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 4]$

Paso 3.5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 3.5.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 3.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 3.5.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} (2 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 3.5.6

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} (2 + 0)$

Paso 3.5.7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.5.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} \cdot 2$

Paso 3.5.7.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 10 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4}$

Paso 3.5.7.3

Factoriza $2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3}$ de $- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 10 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4}$ .

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Paso 3.5.7.3.1

Factoriza $2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3}$ de $- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2}$ .

$2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (- 6 (2 x - 4) x^{2}) + 10 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4}$

Paso 3.5.7.3.2

Factoriza $2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3}$ de $10 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4}$ .

$2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (- 6 (2 x - 4) x^{2}) + 2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (5 (1 - x^{3}))$

Paso 3.5.7.3.3

Factoriza $2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3}$ de $2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (- 6 (2 x - 4) x^{2}) + 2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (5 (1 - x^{3}))$ .

$2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (- 6 (2 x - 4) x^{2} + 5 (1 - x^{3}))$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (- 6 (2 x - 4) x^{2} + 5 (1 - x^{3}))$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (- 6 (2 x - 4) x^{2} + 5 (1 - x^{3}))$