Cálculo Ejemplos

$x = 6 {(3 y - 8)}^{4}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (6 {(3 y - 8)}^{4})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa el teorema del binomio.

$\frac{d}{d x} [6 ({(3 y)}^{4} + 4 {(3 y)}^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 y$ .

$\frac{d}{d x} [6 (3^{4} y^{4} + 4 {(3 y)}^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Paso 3.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 4 {(3 y)}^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Paso 3.2.1.3

Aplica la regla del producto a $3 y$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 4 (3^{3} y^{3}) \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Paso 3.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 4 (27 y^{3}) \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $27$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 108 y^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Paso 3.2.1.6

Multiplica $- 8$ por $108$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Paso 3.2.1.7

Aplica la regla del producto a $3 y$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 6 (3^{2} y^{2}) {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Paso 3.2.1.8

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 6 (9 y^{2}) {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Paso 3.2.1.9

Multiplica $9$ por $6$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 54 y^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Paso 3.2.1.10

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 54 y^{2} \cdot 64 + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Paso 3.2.1.11

Multiplica $64$ por $54$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Paso 3.2.1.12

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} + 12 y {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Paso 3.2.1.13

Eleva $- 8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} + 12 y \cdot - 512 + {(- 8)}^{4})]$

Paso 3.2.1.14

Multiplica $- 512$ por $12$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + {(- 8)}^{4})]$

Paso 3.2.1.15

Eleva $- 8$ a la potencia de $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096)]$

Paso 3.2.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096]$ .

$6 \frac{d}{d x} [81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096]$

Paso 3.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [81 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096]$ .

$6 (\frac{d}{d x} [81 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.2.4

Como $81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $81 y^{4}$ con respecto a $x$ es $81 \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$6 (81 \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$6 (81 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$6 (81 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$6 (81 (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.4

Multiplica $4$ por $81$ .

$6 (324 (y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (324 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.6

Como $- 864$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 864 y^{3}$ con respecto a $x$ es $- 864 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.8

Multiplica $3$ por $- 864$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 (y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.9

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.10

Como $3456$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3456 y^{2}$ con respecto a $x$ es $3456 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.11

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.11.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.11.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.11.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.12

Multiplica $2$ por $3456$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 (y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.13

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.14

Como $- 6144$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6144 y$ con respecto a $x$ es $- 6144 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.15

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y' + \frac{d}{d x} [4096])$

Paso 3.16

Como $4096$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4096$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y' + 0)$

Paso 3.17

Suma $324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y'$ y $0$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y')$

Paso 3.18

Simplifica.

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Paso 3.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (324 y^{3} y') + 6 (- 2592 y^{2} y') + 6 (6912 y y') + 6 (- 6144 y')$

Paso 3.18.2

Combina los términos.

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Paso 3.18.2.1

Multiplica $324$ por $6$ .

$1944 (y^{3} y') + 6 (- 2592 y^{2} y') + 6 (6912 y y') + 6 (- 6144 y')$

Paso 3.18.2.2

Multiplica $- 2592$ por $6$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 (y^{2} y') + 6 (6912 y y') + 6 (- 6144 y')$

Paso 3.18.2.3

Multiplica $6912$ por $6$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 (y y') + 6 (- 6144 y')$

Paso 3.18.2.4

Multiplica $- 6144$ por $6$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = 1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y' = 1$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y' = 1$

Paso 5.2

Factoriza $72 y'$ de $1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $72 y'$ de $1944 y^{3} y'$ .

$72 y' (27 y^{3}) - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y' = 1$

Paso 5.2.2

Factoriza $72 y'$ de $- 15552 y^{2} y'$ .

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2}) + 41472 y y' - 36864 y' = 1$

Paso 5.2.3

Factoriza $72 y'$ de $41472 y y'$ .

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2}) + 72 y' (576 y) - 36864 y' = 1$

Paso 5.2.4

Factoriza $72 y'$ de $- 36864 y'$ .

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2}) + 72 y' (576 y) + 72 y' \cdot - 512 = 1$

Paso 5.2.5

Factoriza $72 y'$ de $72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2})$ .

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2}) + 72 y' (576 y) + 72 y' \cdot - 512 = 1$

Paso 5.2.6

Factoriza $72 y'$ de $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2}) + 72 y' (576 y)$ .

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y) + 72 y' \cdot - 512 = 1$

Paso 5.2.7

Factoriza $72 y'$ de $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y) + 72 y' \cdot - 512$ .

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512) = 1$

Paso 5.3

Divide cada término en $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512) = 1$ por $72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512) = 1$ por $72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)$ .

$\frac{72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $72$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$