Cálculo Ejemplos

$x y + y = x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x y + y) = \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y + y'$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x y' + y + y' = 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + y' = 1 - y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $x y' + y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' x + y' = 1 - y$

Paso 5.2.2

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' x + y' = 1 - y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 = 1 - y$

Paso 5.2.4

Factoriza $y'$ de $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) = 1 - y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (x + 1) = 1 - y$ por $x + 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (x + 1) = 1 - y$ por $x + 1$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{1}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{1}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{1}{x + 1} - \frac{y}{x + 1}$

Paso 5.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{1 - y}{x + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{x + 1}$