Cálculo Ejemplos

$8 \sqrt{y} = x - 5 y$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$8 y^{\frac{1}{2}} = x - 5 y$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (8 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x - 5 y)$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.9

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.10

Combina $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ y $8$ .

$\frac{8}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.11

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.12.1

Factoriza $2$ de $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (y^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.13

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}} y'$

Paso 3.14

Combina $\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}}$ y $y'$ .

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

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Paso 4.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 y$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - 5 y'$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} = 1 - 5 y'$

Paso 6

Resuelve $y^{\frac{1}{2}}$

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Paso 6.1

Multiplica ambos lados por $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$4 y' = (1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $(1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y' = 1 y^{\frac{1}{2}} - 5 y' y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.1.2.1

Multiplica $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$4 y' = y^{\frac{1}{2}} - 5 y' y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.2.1.2.2

Reordena $y^{\frac{1}{2}}$ y $- 5 y' y^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y' = - 5 y' y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3

Resuelve $y'$

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Paso 6.3.1

Suma $5 y' y^{\frac{1}{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y' + 5 y' y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2

Obtén un factor común $y^{\frac{1}{2}}$ que esté presente en cada término.

$4 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 y' y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.3

Sustituye $u$ por $y^{\frac{1}{2}}$ .

$4 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 y' u - (u) = 0$

Paso 6.3.4

Resuelve $u$

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Paso 6.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.4.1.1

Multiplica los exponentes en ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.4.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 y' u - u = 0$

Paso 6.3.4.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.4.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$4 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 y' u - u = 0$

Paso 6.3.4.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {y'}^{1} + 5 y' u - u = 0$

Paso 6.3.4.1.2

Simplifica.

$4 y' + 5 y' u - u = 0$

Paso 6.3.4.2

Resta $4 y'$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y' u - u = - 4 y'$

Paso 6.3.4.3

Factoriza $u$ de $5 y' u - u$ .

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Paso 6.3.4.3.1

Factoriza $u$ de $5 y' u$ .

$u (5 y') - u = - 4 y'$

Paso 6.3.4.3.2

Factoriza $u$ de $- u$ .

$u (5 y') + u \cdot - 1 = - 4 y'$

Paso 6.3.4.3.3

Factoriza $u$ de $u (5 y') + u \cdot - 1$ .

$u (5 y' - 1) = - 4 y'$

Paso 6.3.4.4

Divide cada término en $u (5 y' - 1) = - 4 y'$ por $5 y' - 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.4.4.1

Divide cada término en $u (5 y' - 1) = - 4 y'$ por $5 y' - 1$ .

$\frac{u (5 y' - 1)}{5 y' - 1} = \frac{- 4 y'}{5 y' - 1}$

Paso 6.3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $5 y' - 1$ .

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Paso 6.3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{u (5 y' - 1)}{5 y' - 1} = \frac{- 4 y'}{5 y' - 1}$

Paso 6.3.4.4.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 y'}{5 y' - 1}$

Paso 6.3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.4.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{4 y'}{5 y' - 1}$

Paso 6.3.5

Sustituye $y'$ por $u$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4 y'}{5 y' - 1}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y'}{5 y' - 1}$