Cálculo Ejemplos

$7 {(x^{2} + 1)}^{6} + {(y^{2} + 1)}^{2} = 40$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (7 {(x^{2} + 1)}^{6} + {(y^{2} + 1)}^{2}) = \frac{d}{d x} (40)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe ${(y^{2} + 1)}^{2}$ como $(y^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + (y^{2} + 1) (y^{2} + 1)]$

Paso 2.2

Expande $(y^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)]$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{2} + 1)]$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1]$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $y^{2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{2 + 2} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1]$

Paso 2.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1]$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + y^{2} + 1 y^{2} + 1 \cdot 1]$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + y^{2} + y^{2} + 1 \cdot 1]$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + y^{2} + y^{2} + 1]$

Paso 2.3.2

Suma $y^{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + 2 y^{2} + 1]$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + 2 y^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6}]$ .

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Paso 2.5.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 {(x^{2} + 1)}^{6}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{6}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 2.5.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2} + 1$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.5.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$7 (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.5.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2} + 1$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.5.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.5.6

Suma $2 x$ y $0$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.5.7

Multiplica $2$ por $6$ .

$7 (12 {(x^{2} + 1)}^{5} x) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.5.8

Multiplica $12$ por $7$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

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Paso 2.6.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.6.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.6.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.6.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.6.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Paso 2.7.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.7.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.7.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $y$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.7.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.7.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $y$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.7.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.7.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 4 y y' + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 4 y y' + 0$

Paso 2.9

Simplifica.

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Paso 2.9.1

Suma $84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 4 y y'$ y $0$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 4 y y'$

Paso 2.9.2

Reordena los términos.

$84 x {(x^{2} + 1)}^{5} + 4 y^{3} y' + 4 y y'$

Paso 3

Como $40$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $40$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$84 x {(x^{2} + 1)}^{5} + 4 y^{3} y' + 4 y y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y^{3} y' + 4 y y' = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Paso 5.2

Factoriza $4 y y'$ de $4 y^{3} y' + 4 y y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $4 y y'$ de $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Paso 5.2.2

Factoriza $4 y y'$ de $4 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot 1 = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Paso 5.2.3

Factoriza $4 y y'$ de $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot 1$ .

$4 y y' (y^{2} + 1) = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Paso 5.3

Divide cada término en $4 y y' (y^{2} + 1) = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$ por $4 y (y^{2} + 1)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $4 y y' (y^{2} + 1) = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$ por $4 y (y^{2} + 1)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} + 1)}{4 y (y^{2} + 1)} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y y' (y^{2} + 1)}{4 y (y^{2} + 1)} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (y^{2} + 1)}{y (y^{2} + 1)} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (y^{2} + 1)}{y (y^{2} + 1)} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y^{2} + 1)}{y^{2} + 1} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $y^{2} + 1$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y^{2} + 1)}{y^{2} + 1} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $- 84$ y $4$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$ .

$y' = \frac{4 (- 21 x {(x^{2} + 1)}^{5})}{4 y (y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 y (y^{2} + 1)$ .

$y' = \frac{4 (- 21 x {(x^{2} + 1)}^{5})}{4 (y (y^{2} + 1))}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{4 (- 21 x {(x^{2} + 1)}^{5})}{4 (y (y^{2} + 1))}$

Paso 5.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 21 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{y (y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{21 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{y (y^{2} + 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{21 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{y (y^{2} + 1)}$