Cálculo Ejemplos

$- \csc (y) = 3 x - 9 y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- \csc (y)) = \frac{d}{d x} (3 x - 9 y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \csc (y)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\csc (y)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\csc (y)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\csc (u)$ con respecto a $u$ es $- \csc (u) \cot (u)$ .

$- (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- (- \csc (y) \cot (y) \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Multiplica.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\csc (y) \cot (y) \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2

Multiplica $\csc (y)$ por $1$ .

$\csc (y) (\cot (y) \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\csc (y) \cot (y) y'$

Paso 2.5

Reordena los factores de $\csc (y) \cot (y) y'$ .

$\cot (y) \csc (y) y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 9 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9 y]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9 y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9 y]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9 y]$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 9 y]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 y]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 y$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 - 9 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 - 9 y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\cot (y) \csc (y) y' = 3 - 9 y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $\cot (y) \csc (y) y'$ .

$y' \cot (y) \csc (y) = 3 - 9 y'$

Paso 5.2

Suma $9 y'$ a ambos lados de la ecuación.

$y' \cot (y) \csc (y) + 9 y' = 3$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $y' \cot (y) \csc (y) + 9 y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $y' \cot (y) \csc (y)$ .

$y' (\cot (y) \csc (y)) + 9 y' = 3$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $9 y'$ .

$y' (\cot (y) \csc (y)) + y' \cdot 9 = 3$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (\cot (y) \csc (y)) + y' \cdot 9$ .

$y' (\cot (y) \csc (y) + 9) = 3$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (\cot (y) \csc (y) + 9) = 3$ por $\cot (y) \csc (y) + 9$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (\cot (y) \csc (y) + 9) = 3$ por $\cot (y) \csc (y) + 9$ .

$\frac{y' (\cot (y) \csc (y) + 9)}{\cot (y) \csc (y) + 9} = \frac{3}{\cot (y) \csc (y) + 9}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $\cot (y) \csc (y) + 9$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (\cot (y) \csc (y) + 9)}{\cot (y) \csc (y) + 9} = \frac{3}{\cot (y) \csc (y) + 9}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3}{\cot (y) \csc (y) + 9}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{\cot (y) \csc (y) + 9}$