Cálculo Ejemplos

$\cos (x + y) = y \sin (x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\cos (x + y)) = \frac{d}{d x} (y \sin (x))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$- \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \sin (x + y) (1 + y')$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$y \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y \cos (x) + \sin (x) y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- \sin (x + y) (1 + y') = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica $- \sin (x + y) (1 + y')$ .

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Paso 5.1.1.1

Reescribe.

$0 + 0 - \sin (x + y) (1 + y') = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Paso 5.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$- \sin (x + y) (1 + y') = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Paso 5.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sin (x + y) \cdot 1 - \sin (x + y) y' = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Paso 5.1.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Paso 5.1.1.4.2

Reordena los factores en $- \sin (x + y) - \sin (x + y) y'$ .

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en $y \cos (x) + \sin (x) y'$ .

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) = y \cos (x) + y' \sin (x)$

Paso 5.3

Resta $y' \sin (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) - y' \sin (x) = y \cos (x)$

Paso 5.4

Suma $\sin (x + y)$ a ambos lados de la ecuación.

$- y' \sin (x + y) - y' \sin (x) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Paso 5.5

Factoriza $y'$ de $- y' \sin (x + y) - y' \sin (x)$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $y'$ de $- y' \sin (x + y)$ .

$y' (- 1 \sin (x + y)) - y' \sin (x) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Paso 5.5.2

Factoriza $y'$ de $- y' \sin (x)$ .

$y' (- 1 \sin (x + y)) + y' (- 1 \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Paso 5.5.3

Factoriza $y'$ de $y' (- 1 \sin (x + y)) + y' (- 1 \sin (x))$ .

$y' (- 1 \sin (x + y) - 1 \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Paso 5.6

Reescribe $- 1 \sin (x + y)$ como $- \sin (x + y)$ .

$y' (- \sin (x + y) - 1 \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Paso 5.7

Reescribe $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$y' (- \sin (x + y) - \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Paso 5.8

Divide cada término en $y' (- \sin (x + y) - \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$ por $- \sin (x + y) - \sin (x)$ y simplifica.

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Paso 5.8.1

Divide cada término en $y' (- \sin (x + y) - \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$ por $- \sin (x + y) - \sin (x)$ .

$\frac{y' (- \sin (x + y) - \sin (x))}{- \sin (x + y) - \sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{- \sin (x + y) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Paso 5.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.8.2.1

Cancela el factor común de $- \sin (x + y) - \sin (x)$ .

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Paso 5.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- \sin (x + y) - \sin (x))}{- \sin (x + y) - \sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{- \sin (x + y) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Paso 5.8.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x)}{- \sin (x + y) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Paso 5.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.8.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin (x + y) - \sin (x)$ .

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Paso 5.8.3.1.1.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin (x + y)$ .

$y' = \frac{y \cos (x)}{- (\sin (x + y)) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Paso 5.8.3.1.1.2

Factoriza $- 1$ de $- \sin (x)$ .

$y' = \frac{y \cos (x)}{- (\sin (x + y)) - (\sin (x))} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Paso 5.8.3.1.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (\sin (x + y)) - (\sin (x))$ .

$y' = \frac{y \cos (x)}{- (\sin (x + y) + \sin (x))} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Paso 5.8.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Paso 5.8.3.1.3

Factoriza $- 1$ de $- \sin (x + y) - \sin (x)$ .

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Paso 5.8.3.1.3.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin (x + y)$ .

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y)) - \sin (x)}$

Paso 5.8.3.1.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \sin (x)$ .

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y)) - (\sin (x))}$

Paso 5.8.3.1.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (\sin (x + y)) - (\sin (x))$ .

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y) + \sin (x))}$

Paso 5.8.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} - \frac{\sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Paso 5.8.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.8.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- y \cos (x) - \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Paso 5.8.3.2.2

Factoriza $- 1$ de $- y \cos (x)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Paso 5.8.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- \sin (x + y)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - (\sin (x + y))}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Paso 5.8.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (y \cos (x)) - (\sin (x + y))$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x) + \sin (x + y))}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Paso 5.8.3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.8.3.2.5.1

Reescribe $- (y \cos (x) + \sin (x + y))$ como $- 1 (y \cos (x) + \sin (x + y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y \cos (x) + \sin (x + y))}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Paso 5.8.3.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y \cos (x) + \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \cos (x) + \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$