Cálculo Ejemplos

$\arctan (x^{2} y) = x y^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\arctan (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (x y^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = x^{2} y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y (2 x))$

Paso 2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la regla del producto a $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

Paso 2.6.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

Paso 2.6.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

Paso 2.6.3

Reordena los factores de $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$ .

$(x^{2} y' + 2 y x) \frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$

Paso 2.6.4

Multiplica $x^{2} y' + 2 y x$ por $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$ .

$\frac{x^{2} y' + 2 y x}{1 + x^{4} y^{2}}$

Paso 2.6.5

Factoriza $x$ de $x^{2} y' + 2 y x$ .

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Paso 2.6.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2} y'$ .

$\frac{x (x y') + 2 y x}{1 + x^{4} y^{2}}$

Paso 2.6.5.2

Factoriza $x$ de $2 y x$ .

$\frac{x (x y') + x (2 y)}{1 + x^{4} y^{2}}$

Paso 2.6.5.3

Factoriza $x$ de $x (x y') + x (2 y)$ .

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} \cdot 1$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$2 x y y' + y^{2}$

Paso 3.6.2

Reordena los términos.

$y^{2} + 2 x y y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} = y^{2} + 2 x y y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $1 + x^{4} y^{2}$ .

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2}) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2})$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Cancela el factor común de $1 + x^{4} y^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2}) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x (x y' + 2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x y') + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.1.3.1

Mueve $x$ .

$x \cdot x y' + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} y' + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} y' + 2 x y = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Paso 5.2.1.1.5

Reordena $x^{2}$ y $y'$ .

$y' x^{2} + 2 x y = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $(y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Expande $(y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} (1 + x^{4} y^{2}) + 2 x y y' (1 + x^{4} y^{2})$

Paso 5.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' (1 + x^{4} y^{2})$

Paso 5.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Paso 5.2.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.2.1.1

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Paso 5.2.2.1.2.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.2.1.2.1

Mueve $y^{2}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2} y^{2} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Paso 5.2.2.1.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2 + 2} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Paso 5.2.2.1.2.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Paso 5.2.2.1.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Paso 5.2.2.1.2.1.4

Multiplica $x$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.2.1.4.1

Mueve $x^{4}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 (x^{4} x) y y' y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2.1.4.2

Multiplica $x^{4}$ por $x$ .

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Paso 5.2.2.1.2.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 (x^{4} x^{1}) y y' y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{4 + 1} y y' y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2.1.4.3

Suma $4$ y $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y y' y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2.1.5

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.2.1.5.1

Mueve $y^{2}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} (y^{2} y) y'$

Paso 5.2.2.1.2.1.5.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 5.2.2.1.2.1.5.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} (y^{2} y^{1}) y'$

Paso 5.2.2.1.2.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{2 + 1} y'$

Paso 5.2.2.1.2.1.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{3} y'$

Paso 5.2.2.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.2.1.2.2.1

Reordena $y^{4}$ y $x^{4}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{3} y'$

Paso 5.2.2.1.2.2.2

Mueve $y$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 x y' y + 2 x^{5} y^{3} y'$

Paso 5.2.2.1.2.2.3

Mueve $x$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 x^{5} y^{3} y'$

Paso 5.2.2.1.2.2.4

Mueve $y^{3}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 x^{5} y' y^{3}$

Paso 5.2.2.1.2.2.5

Mueve $x^{5}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 y' x^{5} y^{3}$

Paso 5.2.2.1.2.2.6

Mueve $y^{2}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 y' x^{5} y^{3} + y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2.2.7

Mueve $2 y' x y$ .

$y' x^{2} + 2 x y = x^{4} y^{4} + 2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y + y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2.2.8

Reordena $x^{4} y^{4}$ y $2 y' x^{5} y^{3}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = 2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + y^{2}$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Como $y'$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + y^{2} = y' x^{2} + 2 x y$

Paso 5.3.2

Resta $y' x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + y^{2} - y' x^{2} = 2 x y$

Paso 5.3.3

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.3.1

Resta $x^{4} y^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y + y^{2} - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4}$

Paso 5.3.3.2

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Paso 5.3.4

Factoriza $y' x$ de $2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y - y' x^{2}$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $y' x$ de $2 y' x^{5} y^{3}$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + 2 y' x y - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Paso 5.3.4.2

Factoriza $y' x$ de $2 y' x y$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y) - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Paso 5.3.4.3

Factoriza $y' x$ de $- y' x^{2}$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y) + y' x (- 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Paso 5.3.4.4

Factoriza $y' x$ de $y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y)$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y) + y' x (- 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Paso 5.3.4.5

Factoriza $y' x$ de $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y) + y' x (- 1 x)$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Paso 5.3.5

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Paso 5.3.6

Divide cada término en $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$ por $x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)$ y simplifica.

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Paso 5.3.6.1

Divide cada término en $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$ por $x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)$ .

$\frac{y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.6.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.3.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.2.2

Cancela el factor común de $2 x^{4} y^{3} + 2 y - x$ .

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Paso 5.3.6.2.2.1

Cancela el factor común.

Paso 5.3.6.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.6.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.6.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.6.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.1.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x$ .

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Paso 5.3.6.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $- x^{4} y^{4}$ .

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{x (- x^{3} y^{4})}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.6.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{x (- x^{3} y^{4})}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.6.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 y - x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.2.2

Factoriza $y$ de $2 y - x^{3} y^{4}$ .

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Paso 5.3.6.3.2.2.1

Factoriza $y$ de $2 y$ .

$y' = \frac{y \cdot 2 - x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.2.2.2

Factoriza $y$ de $- x^{3} y^{4}$ .

$y' = \frac{y \cdot 2 + y (- x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.2.2.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 2 + y (- x^{3} y^{3})$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.3

Para escribir $\frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.6.3.4.1

Multiplica $\frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) x}{(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.4.2

Reordena los factores de $(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) x}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) x - y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.6.3.6.1

Factoriza $y$ de $y (2 - x^{3} y^{3}) x - y^{2}$ .

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Paso 5.3.6.3.6.1.1

Factoriza $y$ de $y (2 - x^{3} y^{3}) x$ .

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3}) x) - y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.6.1.2

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3}) x) + y (- y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.6.1.3

Factoriza $y$ de $y ((2 - x^{3} y^{3}) x) + y (- y)$ .

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3}) x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = \frac{y (2 x - x^{3} y^{3} x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.6.3

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.6.3.6.3.1

Mueve $x$ .

$y' = \frac{y (2 x - (x \cdot x^{3}) y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.6.3.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 5.3.6.3.6.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{y (2 x - (x^{1} x^{3}) y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.6.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = \frac{y (2 x - x^{1 + 3} y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 5.3.6.3.6.3.3

Suma $1$ y $3$ .

$y' = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$