Cálculo Ejemplos

$5 \sin (x) + 4 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y) = 3$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (5 \sin (x) + 4 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y)) = \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 \sin (x) + 4 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$5 \cos (x) + \frac{d}{d x} [4 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \cos (y)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \cos (y)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$5 \cos (x) + 4 \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$5 \cos (x) + 4 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$5 \cos (x) + 4 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$5 \cos (x) + 4 (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 \cos (x) + 4 (- \sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 \sin (x) \cos (y)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (y)$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.4.3.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.4.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.4.5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x))$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y')) - 3 (\cos (y) \cos (x))$

Paso 2.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (y) \cos (x)$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$- 4 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 5 \cos (x)$

Paso 3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 4 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 5 \cos (x) = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $- 4 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 5 \cos (x)$ .

$- 4 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) - 3 \cos (x) \cos (y) + 5 \cos (x) = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Suma $3 \cos (x) \cos (y)$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) + 5 \cos (x) = 3 \cos (x) \cos (y)$

Paso 5.2.2

Resta $5 \cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$

Paso 5.3

Factoriza $y' \sin (y)$ de $- 4 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y)$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y' \sin (y)$ de $- 4 y' \sin (y)$ .

$y' \sin (y) \cdot - 4 + 3 y' \sin (x) \sin (y) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$

Paso 5.3.2

Factoriza $y' \sin (y)$ de $3 y' \sin (x) \sin (y)$ .

$y' \sin (y) \cdot - 4 + y' \sin (y) (3 \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$

Paso 5.3.3

Factoriza $y' \sin (y)$ de $y' \sin (y) \cdot - 4 + y' \sin (y) (3 \sin (x))$ .

$y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$ por $\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$ por $\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))$ .

$\frac{y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $\sin (y)$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- 4 + 3 \sin (x))}{- 4 + 3 \sin (x)} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $- 4 + 3 \sin (x)$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 4 + 3 \sin (x))}{- 4 + 3 \sin (x)} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Separa las fracciones.

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.2

Reescribe $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ como un producto.

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.3

Escribe $\cos (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.4

Simplifica.

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Paso 5.4.3.1.4.1

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.4.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (y)}$ a $\csc (y)$ .

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y)) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.5

Multiplica $\frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Paso 5.4.3.1.5.1

Combina $\cos (x)$ y $\frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) (3 \cos (y))}{- 4 + 3 \sin (x)} \csc (y) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.5.2

Combina $\frac{\cos (x) (3 \cos (y))}{- 4 + 3 \sin (x)}$ y $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) (3 \cos (y)) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.6

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$y' = \frac{3 \cdot \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Paso 5.4.3.1.7

Separa las fracciones.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

Paso 5.4.3.1.8

Reescribe $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ como un producto.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Paso 5.4.3.1.9

Escribe $\cos (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Paso 5.4.3.1.10

Simplifica.

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Paso 5.4.3.1.10.1

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Paso 5.4.3.1.10.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (y)}$ a $\csc (y)$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

Paso 5.4.3.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} - \frac{5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

Paso 5.4.3.1.12

Multiplica $- \frac{5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Paso 5.4.3.1.12.1

Combina $\cos (x)$ y $\frac{5}{- 4 + 3 \sin (x)}$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cdot 5}{- 4 + 3 \sin (x)} \csc (y)$

Paso 5.4.3.1.12.2

Combina $\csc (y)$ y $\frac{\cos (x) \cdot 5}{- 4 + 3 \sin (x)}$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} - \frac{\csc (y) (\cos (x) \cdot 5)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Paso 5.4.3.1.13

Mueve $5$ a la izquierda de $\csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} - \frac{5 \csc (y) \cos (x)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Paso 5.4.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.4.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y) - 5 \csc (y) \cos (x)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Paso 5.4.3.2.2

Factoriza $\cos (x) \csc (y)$ de $3 \cos (x) \cos (y) \csc (y) - 5 \csc (y) \cos (x)$ .

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Paso 5.4.3.2.2.1

Factoriza $\cos (x) \csc (y)$ de $3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y)) - 5 \csc (y) \cos (x)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Paso 5.4.3.2.2.2

Factoriza $\cos (x) \csc (y)$ de $- 5 \csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 5)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Paso 5.4.3.2.2.3

Factoriza $\cos (x) \csc (y)$ de $\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 5)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Paso 5.4.3.2.3

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{- 1 (4) + 3 \sin (x)}$

Paso 5.4.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $3 \sin (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{- 1 (4) - (- 3 \sin (x))}$

Paso 5.4.3.2.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (4) - (- 3 \sin (x))$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{- 1 (4 - 3 \sin (x))}$

Paso 5.4.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{4 - 3 \sin (x)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{4 - 3 \sin (x)}$