Cálculo Ejemplos

$3 (x^{2} + y^{2}) = 100 (x^{2} - y^{2})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (3 (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (100 (x^{2} - y^{2}))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 (x^{2} + y^{2})$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 (2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (2 x + 2 y y')$

Paso 2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 x) + 3 (2 y y')$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + 3 (2 y y')$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + 6 y y'$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$6 y y' + 6 x$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Como $100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $100 (x^{2} - y^{2})$ con respecto a $x$ es $100 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$100 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$100 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Paso 3.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$100 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$100 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$100 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$100 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$100 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$100 (2 x - 2 y y')$

Paso 3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$100 (2 x) + 100 (- 2 y y')$

Paso 3.5.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Multiplica $2$ por $100$ .

$200 x + 100 (- 2 y y')$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $- 2$ por $100$ .

$200 x - 200 y y'$

Paso 3.5.3

Reordena los términos.

$- 200 y y' + 200 x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$6 y y' + 6 x = - 200 y y' + 200 x$

Paso 5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan $y'$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Suma $200 y y'$ a ambos lados de la ecuación.

$6 y y' + 6 x + 200 y y' = 200 x$

Paso 5.1.2

Suma $6 y y'$ y $200 y y'$ .

$206 y y' + 6 x = 200 x$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Resta $6 x$ de ambos lados de la ecuación.

$206 y y' = 200 x - 6 x$

Paso 5.2.2

Resta $6 x$ de $200 x$ .

$206 y y' = 194 x$

Paso 5.3

Divide cada término en $206 y y' = 194 x$ por $206 y$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Divide cada término en $206 y y' = 194 x$ por $206 y$ .

$\frac{206 y y'}{206 y} = \frac{194 x}{206 y}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $206$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{206 y y'}{206 y} = \frac{194 x}{206 y}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{194 x}{206 y}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{194 x}{206 y}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{194 x}{206 y}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $194$ y $206$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $194 x$ .

$y' = \frac{2 (97 x)}{206 y}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $206 y$ .

$y' = \frac{2 (97 x)}{2 (103 y)}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (97 x)}{2 (103 y)}$

Paso 5.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{97 x}{103 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{97 x}{103 y}$