Cálculo Ejemplos

$y = \ln (3 x^{2} - 5 x + 2)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (3 x^{2} - 5 x + 2))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{2} - 5 x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{2} - 5 x + 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 5 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.2.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.2.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.2.7

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.2.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 + 0)$

Paso 3.2.9

Suma $6 x - 5$ y $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5)$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Reordena los factores de $\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5)$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2}$

Paso 3.3.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.3.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 5 (x) + 2}$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe $- 5$ como $- 2$ más $- 3$

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} + (- 2 - 3) x + 2}$

Paso 3.3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 2 x - 3 x + 2}$

Paso 3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(6 x - 5) \frac{1}{(3 x^{2} - 2 x) - 3 x + 2}$

Paso 3.3.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(6 x - 5) \frac{1}{x (3 x - 2) - (3 x - 2)}$

Paso 3.3.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 2$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{(3 x - 2) (x - 1)}$

Paso 3.3.3

Multiplica $6 x - 5$ por $\frac{1}{(3 x - 2) (x - 1)}$ .

$\frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$