Cálculo Ejemplos

$a = 5 y^{0.6} x^{- 0.3} z$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d z} (a) = \frac{d}{d z} (5 y^{0.6} x^{- 0.3} z)$

Paso 2

Como $a$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $a$ con respecto a $z$ es $0$ .

$0$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d z} [5 y^{0.6} \frac{1}{x^{0.3}} z]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.2.1

Combina $5$ y $\frac{1}{x^{0.3}}$ .

$\frac{d}{d z} [y^{0.6} \frac{5}{x^{0.3}} z]$

Paso 3.2.2

Combina fracciones.

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Paso 3.2.2.1

Combina $y^{0.6}$ y $\frac{5}{x^{0.3}}$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{y^{0.6} \cdot 5}{x^{0.3}} z]$

Paso 3.2.2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $y^{0.6}$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{5 \cdot y^{0.6}}{x^{0.3}} z]$

Paso 3.2.2.3

Combina $\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ y $z$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{5 y^{0.6} z}{x^{0.3}}]$

Paso 3.2.3

Como $\frac{5}{x^{0.3}}$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $\frac{5 y^{0.6} z}{x^{0.3}}$ con respecto a $z$ es $\frac{5}{x^{0.3}} \frac{d}{d z} [y^{0.6} z]$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} \frac{d}{d z} [y^{0.6} z]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ es $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ donde $f (z) = y^{0.6}$ y $g (z) = z$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} \frac{d}{d z} [z] + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} \cdot 1 + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

Paso 3.4.2

Multiplica $y^{0.6}$ por $1$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = z^{0.6}$ y $g (z) = y$ .

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Paso 3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (\frac{d}{d u} [u^{0.6}] \frac{d}{d z} [y]))$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 0.6$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (0.6 u^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y]))$

Paso 3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (0.6 y^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y]))$

Paso 3.6

Mueve $0.6$ a la izquierda de $z$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 \cdot z y^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y])$

Paso 3.7

Reescribe $\frac{d}{d z} [y]$ como $y'$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 z y^{- 0.4} y')$

Paso 3.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

Paso 3.9

Simplifica.

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Paso 3.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5}{x^{0.3}} y^{0.6} + \frac{5}{x^{0.3}} (0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

Paso 3.9.2

Combina los términos.

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Paso 3.9.2.1

Combina $\frac{5}{x^{0.3}}$ y $y^{0.6}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

Paso 3.9.2.2

Combina $0.6$ y $\frac{1}{y^{0.4}}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (z \frac{0.6}{y^{0.4}} y')$

Paso 3.9.2.3

Combina $z$ y $\frac{0.6}{y^{0.4}}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (\frac{z \cdot 0.6}{y^{0.4}} y')$

Paso 3.9.2.4

Mueve $0.6$ a la izquierda de $z$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (\frac{0.6 \cdot z}{y^{0.4}} y')$

Paso 3.9.2.5

Combina $\frac{0.6 z}{y^{0.4}}$ y $y'$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} \cdot \frac{0.6 z y'}{y^{0.4}}$

Paso 3.9.2.6

Multiplica $\frac{5}{x^{0.3}}$ por $\frac{0.6 z y'}{y^{0.4}}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5 (0.6 z y')}{x^{0.3} y^{0.4}}$

Paso 3.9.2.7

Multiplica $0.6$ por $5$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}}$

Paso 3.9.3

Reordena los términos.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$0 = \frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} = 0$ .

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} = 0$

Paso 5.2

Resta $\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

Paso 5.3

Multiplica ambos lados por $x^{0.3} y^{0.4}$ .

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} (x^{0.3} y^{0.4}) = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Paso 5.4

Simplifica.

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Paso 5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1.1

Cancela el factor común de $x^{0.3} y^{0.4}$ .

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Paso 5.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} (x^{0.3} y^{0.4}) = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Paso 5.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$3 z y' = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica $- \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común de $x^{0.3}$ .

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Paso 5.4.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ al numerador.

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Paso 5.4.2.1.1.2

Factoriza $x^{0.3}$ de $x^{0.3} y^{0.4}$ .

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} (y^{0.4}))$

Paso 5.4.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Paso 5.4.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$3 z y' = - 5 y^{0.6} y^{0.4}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $y^{0.6}$ por $y^{0.4}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.2.1.2.1

Mueve $y^{0.4}$ .

$3 z y' = - 5 (y^{0.4} y^{0.6})$

Paso 5.4.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 z y' = - 5 y^{0.4 + 0.6}$

Paso 5.4.2.1.2.3

Suma $0.4$ y $0.6$ .

$3 z y' = - 5 y^{1}$

Paso 5.4.2.1.3

Simplifica $- 5 y^{1}$ .

$3 z y' = - 5 y$

Paso 5.5

Divide cada término en $3 z y' = - 5 y$ por $3 z$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $3 z y' = - 5 y$ por $3 z$ .

$\frac{3 z y'}{3 z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 z y'}{3 z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{z y'}{z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de $z$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{z y'}{z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Paso 5.5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 5 y}{3 z}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Cancela el factor común de $- 5$ y $3$ .

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Paso 5.5.3.1.1

Factoriza $1$ de $- 5 y$ .

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{3 z}$

Paso 5.5.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.1.2.1

Factoriza $1$ de $3 z$ .

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{1 (3 z)}$

Paso 5.5.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{1 (3 z)}$

Paso 5.5.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 5 y}{3 z}$

Paso 5.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{5 y}{3 z}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d z}$ .

$\frac{d y}{d z} = - \frac{5 y}{3 z}$