Cálculo Ejemplos

$x = \frac{t^{2} + 1}{3 t}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 1}{3 t})$

Paso 2

La derivada de $x$ con respecto a $t$ es $x'$ .

$x'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{t^{2} + 1}{3 t}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 1}{t}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 1}{t}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t^{2} + 1$ y $g (t) = t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 3.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 3.3.4

Suma $2 t$ y $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 3.4

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (t^{1} t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 3.5

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (t^{1} t^{1}) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{1 + 1} - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 3.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1) \cdot 1}{t^{2}}$

Paso 3.9

Combina fracciones.

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Paso 3.9.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{t^{2}}$

Paso 3.9.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{t^{2}}$ .

$\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{3 t^{2}}$

Paso 3.10

Simplifica.

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Paso 3.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1 \cdot 1}{3 t^{2}}$

Paso 3.10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1}{3 t^{2}}$

Paso 3.10.2.2

Resta $t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 1}{3 t^{2}}$

Paso 3.10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 1^{2}}{3 t^{2}}$

Paso 3.10.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = t$ y $b = 1$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x' = \frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$