Cálculo Ejemplos

$w = {(2 x - 7)}^{- 1} (x + 5)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (w) = \frac{d}{d x} ({(2 x - 7)}^{- 1} (x + 5))$

Paso 2

La derivada de $w$ con respecto a $x$ es $w'$ .

$w'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(2 x - 7)}^{- 1}$ y $g (x) = x + 5$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Paso 3.2.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Paso 3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Paso 3.2.4.2

Multiplica ${(2 x - 7)}^{- 1}$ por $1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 2 x - 7$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - 7$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 7$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Paso 3.4.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Paso 3.4.4

Multiplica $2$ por $1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Paso 3.4.5

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 + 0))$

Paso 3.4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.6.1

Suma $2$ y $0$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} \cdot 2)$

Paso 3.4.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- 2 {(2 x - 7)}^{- 2})$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reordena los términos.

$- 2 {(2 x - 7)}^{- 2} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Paso 3.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Paso 3.5.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(2 x - 7)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Paso 3.5.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Paso 3.5.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} x - \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5 + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Paso 3.5.2.5

Combina $x$ y $\frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5 + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Paso 3.5.2.6

Multiplica $- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5$ .

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Paso 3.5.2.6.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} - 5 \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Paso 3.5.2.6.2

Combina $- 5$ y $\frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 5 \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Paso 3.5.2.6.3

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Paso 3.5.2.7

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.7.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{2 \cdot x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Paso 3.5.2.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Paso 3.5.2.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{1}{2 x - 7}$

Paso 3.5.3

Para escribir $\frac{1}{2 x - 7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x - 7}{2 x - 7}$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{1}{2 x - 7} \cdot \frac{2 x - 7}{2 x - 7} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.5.4

Escribe cada expresión con un denominador común de ${(2 x - 7)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.5.4.1

Multiplica $\frac{1}{2 x - 7}$ por $\frac{2 x - 7}{2 x - 7}$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{(2 x - 7) (2 x - 7)} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.5.4.2

Eleva $2 x - 7$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1} (2 x - 7)} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.5.4.3

Eleva $2 x - 7$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1} {(2 x - 7)}^{1}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1 + 1}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 x + 2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.5.6

Combina los términos opuestos en $\frac{- 2 x + 2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$ .

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Paso 3.5.6.1

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\frac{0 - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.5.6.2

Resta $7$ de $0$ .

$\frac{- 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.5.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 7 - 10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.5.8

Resta $10$ de $- 7$ .

$\frac{- 17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.5.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$w' = - \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $w'$ con $\frac{d w}{d x}$ .

$\frac{d w}{d x} = - \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$