Cálculo Ejemplos

Diferencia con la regla del producto, que establece que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ es ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$ donde ${\displaystyle f\left(x\right)=e^{x^2}}$ y ${\displaystyle g\left(x\right)=y}$.

Reescribe ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ como ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ es ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ donde ${\displaystyle f\left(x\right)=e^x}$ y ${\displaystyle g\left(x\right)=x^2}$.

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ es ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ donde ${\displaystyle n=2}$.

Como ${\displaystyle -3}$ es constante con respecto a ${\displaystyle x}$, la derivada de ${\displaystyle -3{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a ${\displaystyle x}$ es ${\displaystyle -3\frac{d}{dx}\left[{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}\right]}$.

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ es ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ donde ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ y ${\displaystyle g\left(x\right)=y^2+2}$.

Según la regla de la suma, la derivada de ${\displaystyle y^2+2}$ con respecto a ${\displaystyle x}$ es ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y^2\right]+\frac{d}{dx}\left[2\right]}$.

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ es ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ donde ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ y ${\displaystyle g\left(x\right)=y}$.

Reescribe ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ como ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Como ${\displaystyle 2}$ es constante con respecto a ${\displaystyle x}$, la derivada de ${\displaystyle 2}$ con respecto a ${\displaystyle x}$ es ${\displaystyle 0}$.

Para escribir ${\displaystyle -1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Combina ${\displaystyle -1}$ y ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Combina los numeradores sobre el denominador común.

Simplifica el numerador.

Mueve el negativo al frente de la fracción.

Suma ${\displaystyle 2yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ y ${\displaystyle 0}$.

Combina ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ y ${\displaystyle {(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}}$.

Combina ${\displaystyle 2}$ y ${\displaystyle \frac{{(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}}{2}}$.

Combina ${\displaystyle y}$ y ${\displaystyle \frac{2{(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}}{2}}$.

Combina ${\displaystyle \frac{y\left(2{(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}\right)}{2}}$ y ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Mueve ${\displaystyle {(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Mueve ${\displaystyle 2}$ a la izquierda de ${\displaystyle y}$.

Cancela el factor común.

Reescribe la expresión.

Combina ${\displaystyle -3}$ y ${\displaystyle \frac{yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}{{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Mueve el negativo al frente de la fracción.

Reordena los términos.

Reordena los factores en ${\displaystyle e^{x^2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}+2e^{x^2}xy-\frac{3yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}{{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}}$.

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

Multiplica cada término en ${\displaystyle e^{x^2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}+2xy{e}^{x^2}-\frac{3yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}{{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}=2x}$ por ${\displaystyle {(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}$.

Simplifica el lado izquierdo.

Resta ${\displaystyle 2xy{e}^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}$ de ambos lados de la ecuación.

Factoriza ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ de ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}{e}^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}-3yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Divide cada término en ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}(e^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}-3y)=2x{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}-2xy{e}^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}$ por ${\displaystyle e^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}-3y}$ y simplifica.