Cálculo Ejemplos

$v = (1 - t) {(1 + t^{2})}^{- 1}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} v' = \frac{d}{d t} ((1 - t) {(1 + t^{2})}^{- 1})$

Paso 2

La derivada de $v'$ con respecto a $t$ es $v''$ .

$v''$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = 1 - t$ y $g (t) = {(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{2})}^{- 1}] + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 1}$ y $g (t) = 1 + t^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + t^{2}$ .

$(1 - t) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$(1 - t) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + t^{2}$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Paso 3.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Paso 3.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (2 t)) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Paso 3.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Paso 3.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t])$

Paso 3.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Paso 3.3.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [- t]$

Paso 3.3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (- \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (- 1 \cdot 1)$

Paso 3.3.11

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.11.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot - 1$

Paso 3.3.11.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) - 1 \cdot {(1 + t^{2})}^{- 1}$

Paso 3.3.11.3

Reescribe $- 1 {(1 + t^{2})}^{- 1}$ como $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) - {(1 + t^{2})}^{- 1}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - {(1 + t^{2})}^{- 1}$

Paso 3.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Paso 3.4.3

Combina los términos.

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Paso 3.4.3.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ .

$(1 - t) (\frac{- 2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Paso 3.4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(1 - t) (- \frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Paso 3.4.3.3

Combina $t$ y $\frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ .

$(1 - t) (- \frac{t \cdot 2}{{(1 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Paso 3.4.3.4

Mueve $2$ a la izquierda de $t$ .

$(1 - t) (- \frac{2 \cdot t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Paso 3.4.3.5

Para escribir $(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ .

$(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) \cdot \frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Paso 3.4.3.6

Combina $(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}})$ y $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ .

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) (1 + t^{2})}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Paso 3.4.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) (1 + t^{2}) - 1}{1 + t^{2}}$

Paso 3.4.4

Reordena los términos.

$\frac{- (1 + t^{2}) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.5.1

Factoriza $- 1$ de $- (1 + t^{2}) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1$ .

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Paso 3.4.5.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 3.4.5.1.1.1

Reordena $1$ y $t^{2}$ .

$\frac{- (t^{2} + 1) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.1.1.2

Reordena $1$ y $- t$ .

$\frac{- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.1.1.3

Reordena $1$ y $t^{2}$ .

$\frac{- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.1.2

Factoriza $- 1$ de $- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.1.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.2

Cancela el factor común de $t^{2} + 1$ .

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Paso 3.4.5.2.1

Factoriza $t^{2} + 1$ de ${(t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{- ((t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)} + 1)}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- ((t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)} + 1)}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- ((- t + 1) \frac{2 t}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.3

Multiplica $- t + 1$ por $\frac{2 t}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{- (\frac{(- t + 1) (2 t)}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.4

Mueve $2$ a la izquierda de $- t + 1$ .

$\frac{- (\frac{2 \cdot (- t + 1) t}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{- (\frac{2 (- t + 1) t}{t^{2} + 1} + \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1})}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \frac{2 (- t + 1) t + t^{2} + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.7

Reordena los términos.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.8

Reescribe $\frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 1}{t^{2} + 1}$ en forma factorizada.

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Paso 3.4.5.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t) + 2 t \cdot 1 + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.8.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.8.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.8.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.5.8.4.1

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.5.8.4.1.1

Mueve $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 (t \cdot t) + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.8.4.1.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.8.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} - 2 t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.5.8.5

Resta $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t^{2} + 1}$

Paso 3.4.7

Multiplica $- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t^{2} + 1}$ .

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Paso 3.4.7.1

Multiplica $\frac{1}{t^{2} + 1}$ por $\frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)}$

Paso 3.4.7.2

Eleva $t^{2} + 1$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1} (t^{2} + 1)}$

Paso 3.4.7.3

Eleva $t^{2} + 1$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1} {(t^{2} + 1)}^{1}}$

Paso 3.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.8

Factoriza $- 1$ de $- t^{2}$ .

$- \frac{- (t^{2}) + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.9

Factoriza $- 1$ de $2 t$ .

$- \frac{- (t^{2}) - (- 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.10

Factoriza $- 1$ de $- (t^{2}) - (- 2 t)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.11

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.12

Factoriza $- 1$ de $- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.13

Reescribe $- (t^{2} - 2 t - 1)$ como $- 1 (t^{2} - 2 t - 1)$ .

$- \frac{- 1 (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4.16

Multiplica $\frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$v'' = \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $v'$ con $\frac{d v}{d t}$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$