Cálculo Ejemplos

$u = \sqrt{\sqrt{2 v - 9}}$

Paso 1

Reescribe el lado derecho con exponentes racionales.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 u' - 9}$ como ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \sqrt{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${(2 u' - 9)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$

Paso 1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 1.4

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}$

Paso 1.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4}}$

Paso 3

La derivada de $u$ con respecto a $u'$ es $u'$ .

$u'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ es $f' (g (u')) g' (u')$ donde $f (u') = {u'}^{\frac{1}{4}}$ y $g (u') = 2 u' - 9$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 u' - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 u' - 9$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Paso 4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Paso 4.3

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Paso 4.5.2

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Paso 4.6

Combina fracciones.

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Paso 4.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Paso 4.6.2

Combina $\frac{1}{4}$ y ${(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{{(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Paso 4.6.3

Mueve ${(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Paso 4.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 u' - 9$ con respecto a $u'$ es $\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9])$

Paso 4.8

Como $2$ es constante con respecto a $u'$ , la derivada de $2 u'$ con respecto a $u'$ es $2 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 9])$

Paso 4.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ es $n {u'}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 9])$

Paso 4.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 + \frac{d}{d v} [- 9])$

Paso 4.11

Como $- 9$ es constante con respecto a $u'$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $u'$ es $0$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 + 0)$

Paso 4.12

Simplifica los términos.

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Paso 4.12.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} \cdot 2$

Paso 4.12.2

Combina $\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$ y $2$ .

$\frac{2}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 4.12.3

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 4.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.13.1

Factoriza $2$ de $4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{2 (1)}{2 (2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}})}$

Paso 4.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}})}$

Paso 4.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$u' = \frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 6

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$u' \approx 4.52650004$

Paso 7

Reemplaza $u'$ con $\frac{d u}{d v}$ .

$u' = \frac{d u}{d v} \approx 4.52650004$