Cálculo Ejemplos

$R = 2 x (900 + 32 x - x^{2})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (R) = \frac{d}{d x} (2 x (900 + 32 x - x^{2}))$

Paso 2

La derivada de $R$ con respecto a $x$ es $R'$ .

$R'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x (900 + 32 x - x^{2})$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x (900 + 32 x - x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x (900 + 32 x - x^{2})]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 900 + 32 x - x^{2}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [900 + 32 x - x^{2}] + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $900 + 32 x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [900] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [900] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.2

Como $900$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $900$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (x (0 + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [32 x]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.4

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32 x$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (32 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x (32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.6

Multiplica $32$ por $1$ .

$2 (x (32 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x (32 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (x (32 - (2 x)) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 (x (32 - 2 x) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x (32 - 2 x) + (900 + 32 x - x^{2}) \cdot 1)$

Paso 3.3.11

Multiplica $900 + 32 x - x^{2}$ por $1$ .

$2 (x (32 - 2 x) + 900 + 32 x - x^{2})$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x \cdot 32 + x (- 2 x) + 900 + 32 x - x^{2})$

Paso 3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x \cdot 32) + 2 (x (- 2 x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Paso 3.4.3

Combina los términos.

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Paso 3.4.3.1

Mueve $32$ a la izquierda de $x$ .

$2 (32 \cdot x) + 2 (x (- 2 x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Paso 3.4.3.2

Multiplica $32$ por $2$ .

$64 x + 2 (x (- 2 x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Paso 3.4.3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$64 x + 2 (- 2 (x^{1} x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Paso 3.4.3.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$64 x + 2 (- 2 (x^{1} x^{1})) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Paso 3.4.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$64 x + 2 (- 2 x^{1 + 1}) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Paso 3.4.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$64 x + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Paso 3.4.3.7

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$64 x - 4 x^{2} + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Paso 3.4.3.8

Multiplica $2$ por $900$ .

$64 x - 4 x^{2} + 1800 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Paso 3.4.3.9

Multiplica $32$ por $2$ .

$64 x - 4 x^{2} + 1800 + 64 x + 2 (- x^{2})$

Paso 3.4.3.10

Suma $64 x$ y $64 x$ .

$128 x - 4 x^{2} + 1800 + 2 (- x^{2})$

Paso 3.4.3.11

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$128 x - 4 x^{2} + 1800 - 2 x^{2}$

Paso 3.4.3.12

Resta $2 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$128 x - 6 x^{2} + 1800$

Paso 3.4.4

Reordena los términos.

$- 6 x^{2} + 128 x + 1800$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$R' = - 6 x^{2} + 128 x + 1800$

Paso 5

Reemplaza $R'$ con $\frac{d R}{d x}$ .

$\frac{d R}{d x} = - 6 x^{2} + 128 x + 1800$