Cálculo Ejemplos

$s = (\frac{1}{3}) t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$

Paso 1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $t^{3}$ .

$s = \frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (\frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5)$

Paso 3

La derivada de $s$ con respecto a $t$ es $s'$ .

$s'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}]$ .

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Paso 4.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{1}{3} t^{3}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Paso 4.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Paso 4.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $t^{2}$ .

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Paso 4.2.5.2

Divide $t^{2}$ por $1$ .

$t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 7 t^{2}]$ .

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Paso 4.3.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 7 t^{2}$ con respecto a $t$ es $- 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t^{2} - 7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$t^{2} - 7 (2 t) + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Paso 4.3.3

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$t^{2} - 14 t + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Paso 4.4

Evalúa $\frac{d}{d t} [49 t]$ .

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Paso 4.4.1

Como $49$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $49 t$ con respecto a $t$ es $49 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{2} - 14 t + 49 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$

Paso 4.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$t^{2} - 14 t + 49 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5]$

Paso 4.4.3

Multiplica $49$ por $1$ .

$t^{2} - 14 t + 49 + \frac{d}{d t} [5]$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.5.1

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5$ con respecto a $t$ es $0$ .

$t^{2} - 14 t + 49 + 0$

Paso 4.5.2

Suma $t^{2} - 14 t + 49$ y $0$ .

$t^{2} - 14 t + 49$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$s' = t^{2} - 14 t + 49$

Paso 6

Reemplaza $s'$ con $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t^{2} - 14 t + 49$