Cálculo Ejemplos

$s = \frac{1 + \sec (t)}{1 - \sec (t)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (\frac{1 + \sec (t)}{1 - \sec (t)})$

Paso 2

La derivada de $s$ con respecto a $t$ es $s'$ .

$s'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = 1 + \sec (t)$ y $g (t) = 1 - \sec (t)$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 + \sec (t)] - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sec (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sec (t)]) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) (0 + \frac{d}{d t} [\sec (t)]) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [\sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \frac{d}{d t} [\sec (t)] - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.3

La derivada de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\sec (t) \tan (t)$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) (\sec (t) \tan (t)) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \sec (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sec (t)])}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) (0 + \frac{d}{d t} [- \sec (t)])}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [- \sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [- \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \sec (t)$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [\sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) (- \frac{d}{d t} [\sec (t)])}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.4.5

Multiplica.

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Paso 3.4.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) + 1 (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [\sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.4.5.2

Multiplica $1 + \sec (t)$ por $1$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) + (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [\sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.5

La derivada de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\sec (t) \tan (t)$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) + (1 + \sec (t)) (\sec (t) \tan (t))}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(1 \sec (t) - \sec (t) \sec (t)) \tan (t) + (1 + \sec (t)) \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + (1 + \sec (t)) \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + (1 \sec (t) + \sec (t) \sec (t)) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t) + \sec (t) \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.5.1

Combina los términos opuestos en $1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t) + \sec (t) \sec (t) \tan (t)$ .

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Paso 3.6.5.1.1

Suma $- \sec (t) \sec (t) \tan (t)$ y $\sec (t) \sec (t) \tan (t)$ .

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t) + 0}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.6.5.1.2

Suma $1 \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t)$ y $0$ .

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.6.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.5.2.1

Multiplica $\sec (t)$ por $1$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.6.5.2.2

Multiplica $\sec (t)$ por $1$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.6.5.3

Suma $\sec (t) \tan (t)$ y $\sec (t) \tan (t)$ .

$\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$s' = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $s'$ con $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$