Cálculo Ejemplos

$y = 14 x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (14 x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14 x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))$ .

$14 (x \frac{d}{d x} [\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))] + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (\ln (14 x))] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]$ .

$14 (x (\frac{d}{d x} [\sin (\ln (14 x))] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \ln (14 x)$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (14 x)$ .

$14 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (14 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$14 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\ln (14 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (14 x)$ .

$14 (x (\cos (\ln (14 x)) \frac{d}{d x} [\ln (14 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 14 x$ .

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Paso 3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $14 x$ .

$14 (x (\cos (\ln (14 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [14 x]) + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$14 (x (\cos (\ln (14 x)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [14 x]) + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $14 x$ .

$14 (x (\cos (\ln (14 x)) (\frac{1}{14 x} \frac{d}{d x} [14 x]) + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6

Diferencia.

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Paso 3.6.1

Combina $\frac{1}{14 x}$ y $\cos (\ln (14 x))$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6.2

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14 x$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{14 x} (14 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.6.3.1

Combina $14$ y $\frac{\cos (\ln (14 x))}{14 x}$ .

$14 (x (\frac{14 \cos (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6.3.2

Cancela el factor común de $14$ .

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Paso 3.6.3.2.1

Cancela el factor común.

$14 (x (\frac{14 \cos (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6.3.2.2

Reescribe la expresión.

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6.5

Multiplica $\frac{\cos (\ln (14 x))}{x}$ por $1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \ln (14 x)$ .

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Paso 3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $\ln (14 x)$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [\ln (14 x)]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.7.2

La derivada de $\cos (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $- \sin (u_{3})$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [\ln (14 x)]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $\ln (14 x)$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (\ln (14 x)) \frac{d}{d x} [\ln (14 x)]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 14 x$ .

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Paso 3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{4}$ como $14 x$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (\ln (14 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\ln (u_{4})] \frac{d}{d x} [14 x])) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.8.2

La derivada de $\ln (u_{4})$ con respecto a $u_{4}$ es $\frac{1}{u_{4}}$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (\ln (14 x)) (\frac{1}{u_{4}} \frac{d}{d x} [14 x])) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{4}$ con $14 x$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (\ln (14 x)) (\frac{1}{14 x} \frac{d}{d x} [14 x])) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.9

Diferencia.

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Paso 3.9.1

Combina $\frac{1}{14 x}$ y $\sin (\ln (14 x))$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [14 x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.9.2

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14 x$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{14 x} (14 \frac{d}{d x} [x])) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.9.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.9.3.1

Multiplica $14$ por $- 1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - 14 \frac{\sin (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.9.3.2

Combina $- 14$ y $\frac{\sin (\ln (14 x))}{14 x}$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{- 14 \sin (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.9.3.3

Cancela el factor común de $- 14$ y $14$ .

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Paso 3.9.3.3.1

Factoriza $14$ de $- 14 \sin (\ln (14 x))$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{14 (- \sin (\ln (14 x)))}{14 x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.9.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.3.3.2.1

Factoriza $14$ de $14 x$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{14 (- \sin (\ln (14 x)))}{14 (x)} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.9.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{14 (- \sin (\ln (14 x)))}{14 x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.9.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{- \sin (\ln (14 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.9.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.9.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x} \cdot 1) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.9.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x}) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.9.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x}) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \cdot 1)$

Paso 3.9.7

Multiplica $\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))$ por $1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x}) + \sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))$

Paso 3.10

Simplifica.

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Paso 3.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$14 (x \frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x}) + \sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))$

Paso 3.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$14 (x \frac{\cos (\ln (14 x))}{x}) + 14 (x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x})) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Paso 3.10.3

Combina los términos.

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Paso 3.10.3.1

Combina $x$ y $\frac{\cos (\ln (14 x))}{x}$ .

$14 \frac{x \cos (\ln (14 x))}{x} + 14 (x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x})) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Paso 3.10.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.10.3.2.1

Cancela el factor común.

$14 \frac{x \cos (\ln (14 x))}{x} + 14 (x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x})) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Paso 3.10.3.2.2

Divide $\cos (\ln (14 x))$ por $1$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 (x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x})) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Paso 3.10.3.3

Combina $x$ y $\frac{\sin (\ln (14 x))}{x}$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 (- \frac{x \sin (\ln (14 x))}{x}) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Paso 3.10.3.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.10.3.4.1

Cancela el factor común.

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 (- \frac{x \sin (\ln (14 x))}{x}) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Paso 3.10.3.4.2

Divide $\sin (\ln (14 x))$ por $1$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 (- \sin (\ln (14 x))) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Paso 3.10.3.5

Multiplica $- 1$ por $14$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) - 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Paso 3.10.3.6

Suma $- 14 \sin (\ln (14 x))$ y $14 \sin (\ln (14 x))$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 0 + 14 \cos (\ln (14 x))$

Paso 3.10.3.7

Suma $14 \cos (\ln (14 x))$ y $0$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Paso 3.10.3.8

Suma $14 \cos (\ln (14 x))$ y $14 \cos (\ln (14 x))$ .

$28 \cos (\ln (14 x))$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 28 \cos (\ln (14 x))$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 28 \cos (\ln (14 x))$