Cálculo Ejemplos

$x \ln (y) + 6 y = 3 x^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + 6 y) = \frac{d}{d x} (3 x^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x \ln (y) + 6 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Paso 2.2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y]$

Paso 2.2.5

Combina $\frac{1}{y}$ y $y'$ .

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y]$

Paso 2.2.6

Combina $x$ y $\frac{y'}{y}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y]$

Paso 2.2.7

Multiplica $\ln (y)$ por $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [6 y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 y$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 6 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 6 y'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$6 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y)$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (3 x^{2})$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 x^{2}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$6 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 9 x^{2}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, y, 1, 1$

Paso 5.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 5.2

Multiplica cada término en $6 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 9 x^{2}$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.2.1

Multiplica cada término en $6 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 9 x^{2}$ por $y$ .

$6 y' y + \frac{x y'}{y} y + \ln (y) y = 9 x^{2} y$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$6 y' y + \frac{x y'}{y} y + \ln (y) y = 9 x^{2} y$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$6 y' y + x y' + \ln (y) y = 9 x^{2} y$

Paso 5.2.2.2

Reordena los factores en $6 y' y + x y' + \ln (y) y$ .

$6 y' y + x y' + y \ln (y) = 9 x^{2} y$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $y \ln (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$6 y' y + x y' = 9 x^{2} y - y \ln (y)$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $6 y' y + x y'$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $y'$ de $6 y' y$ .

$y' (6 y) + x (y') = 9 x^{2} y - y \ln (y)$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' (6 y) + y' (x) = 9 x^{2} y - y \ln (y)$

Paso 5.3.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (6 y) + y' (x)$ .

$y' (6 y + x) = 9 x^{2} y - y \ln (y)$

Paso 5.3.3

Divide cada término en $y' (6 y + x) = 9 x^{2} y - y \ln (y)$ por $6 y + x$ y simplifica.

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Paso 5.3.3.1

Divide cada término en $y' (6 y + x) = 9 x^{2} y - y \ln (y)$ por $6 y + x$ .

$\frac{y' (6 y + x)}{6 y + x} = \frac{9 x^{2} y}{6 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{6 y + x}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común de $6 y + x$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (6 y + x)}{6 y + x} = \frac{9 x^{2} y}{6 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{6 y + x}$

Paso 5.3.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{9 x^{2} y}{6 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{6 y + x}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{9 x^{2} y - y \ln (y)}{6 y + x}$

Paso 5.3.3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.3.2.1

Factoriza $y$ de $9 x^{2} y - y \ln (y)$ .

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Paso 5.3.3.3.2.1.1

Factoriza $y$ de $9 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (9 x^{2}) - y \ln (y)}{6 y + x}$

Paso 5.3.3.3.2.1.2

Factoriza $y$ de $- y \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (9 x^{2}) + y (- 1 \ln (y))}{6 y + x}$

Paso 5.3.3.3.2.1.3

Factoriza $y$ de $y (9 x^{2}) + y (- 1 \ln (y))$ .

$y' = \frac{y (9 x^{2} - 1 \ln (y))}{6 y + x}$

Paso 5.3.3.3.2.2

Reescribe $- 1 \ln (y)$ como $- \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (9 x^{2} - \ln (y))}{6 y + x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (9 x^{2} - \ln (y))}{6 y + x}$