Cálculo Ejemplos

$K = \frac{1}{L^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d L} (K) = \frac{d}{d L} (\frac{1}{L^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2

La derivada de $K$ con respecto a $L$ es $K'$ .

$K'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1.1

Reescribe $\frac{1}{L^{\frac{2}{3}}}$ como ${(L^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d L} [{(L^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Paso 3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(L^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d L} [L^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{d}{d L} [L^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d L} [L^{\frac{- 2}{3}}]$

Paso 3.1.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d L} [L^{- \frac{2}{3}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d L} [L^{n}]$ es $n L^{n - 1}$ donde $n = - \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3} L^{- \frac{2}{3} - 1}$

Paso 3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} L^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} L^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{2}{3} L^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{2}{3} L^{\frac{- 2 - 3}{3}}$

Paso 3.6.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$- \frac{2}{3} L^{\frac{- 5}{3}}$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3} L^{- \frac{5}{3}}$

Paso 3.8

Simplifica.

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Paso 3.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{L^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3.8.2

Combina los términos.

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Paso 3.8.2.1

Multiplica $\frac{1}{L^{\frac{5}{3}}}$ por $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{L^{\frac{5}{3}} \cdot 3}$

Paso 3.8.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $L^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{2}{3 L^{\frac{5}{3}}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$K' = - \frac{2}{3 L^{\frac{5}{3}}}$

Paso 5

Reemplaza $K'$ con $\frac{d K}{d L}$ .

$\frac{d K}{d L} = - \frac{2}{3 L^{\frac{5}{3}}}$