Cálculo Ejemplos

$q = \sqrt[3]{r} + \frac{6}{r}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{r}$ como $r^{\frac{1}{3}}$ .

$q = r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d r} (q) = \frac{d}{d r} (r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r})$

Paso 3

La derivada de $q$ con respecto a $r$ es $q'$ .

$q'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r}$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$ .

$\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}]$ .

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Paso 4.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Paso 4.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Paso 4.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Paso 4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} r^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Paso 4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Paso 4.2.5.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} r^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Paso 4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$ .

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Paso 4.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $\frac{6}{r}$ con respecto a $r$ es $6 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]$

Paso 4.3.2

Reescribe $\frac{1}{r}$ como $r^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 \frac{d}{d r} [r^{- 1}]$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 (- r^{- 2})$

Paso 4.3.4

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} - 6 r^{- 2}$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^{\frac{2}{3}}} - 6 r^{- 2}$

Paso 4.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^{\frac{2}{3}}} - 6 \frac{1}{r^{2}}$

Paso 4.4.3

Combina los términos.

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Paso 4.4.3.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{r^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} - 6 \frac{1}{r^{2}}$

Paso 4.4.3.2

Combina $- 6$ y $\frac{1}{r^{2}}$ .

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 6}{r^{2}}$

Paso 4.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} - \frac{6}{r^{2}}$

Paso 4.4.4

Reordena los términos.

$- \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$q' = - \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6

Reemplaza $q'$ con $\frac{d q}{d r}$ .

$\frac{d q}{d r} = - \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$