Cálculo Ejemplos

$x = \frac{3 r + 2}{2 r + 3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d r} (x) = \frac{d}{d r} (\frac{3 r + 2}{2 r + 3})$

Paso 2

La derivada de $x$ con respecto a $r$ es $x'$ .

$x'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ es $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ donde $f (r) = 3 r + 2$ y $g (r) = 2 r + 3$ .

$\frac{(2 r + 3) \frac{d}{d r} [3 r + 2] - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 r + 2$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [2]$ .

$\frac{(2 r + 3) (\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $3 r$ con respecto a $r$ es $3 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{(2 r + 3) (3 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(2 r + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{(2 r + 3) (3 + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Como $2$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $2$ con respecto a $r$ es $0$ .

$\frac{(2 r + 3) (3 + 0) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{(2 r + 3) \cdot 3 - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $2 r + 3$ .

$\frac{3 \cdot (2 r + 3) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 r + 3$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [3]$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.8

Como $2$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $2 r$ con respecto a $r$ es $2 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.11

Como $3$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $3$ con respecto a $r$ es $0$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 + 0)}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.12.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.12.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - 2 (3 r + 2)}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 r) + 3 \cdot 3 - 2 (3 r + 2)}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 r) + 3 \cdot 3 - 2 (3 r) - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.3.1

Combina los términos opuestos en $3 (2 r) + 3 \cdot 3 - 2 (3 r) - 2 \cdot 2$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Reordena los factores en los términos $3 (2 r)$ y $- 2 (3 r)$ .

$\frac{2 \cdot 3 r + 3 \cdot 3 - 2 \cdot 3 r - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.2

Resta $2 \cdot 3 r$ de $2 \cdot 3 r$ .

$\frac{3 \cdot 3 + 0 - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.3

Suma $3 \cdot 3$ y $0$ .

$\frac{3 \cdot 3 - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.2.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9 - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{9 - 4}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3.3

Resta $4$ de $9$ .

$\frac{5}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x' = \frac{5}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d r}$ .

$\frac{d x}{d r} = \frac{5}{{(2 r + 3)}^{2}}$