Cálculo Ejemplos

$p = {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{10}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} ({(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{10})$

Paso 2

La derivada de $p$ con respecto a $q$ es $p'$ .

$p'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ es $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ donde $f (q) = {(5 q^{2} - 4)}^{5}$ y $g (q) = {(2 q + 3)}^{10}$ .

${(5 q^{2} - 4)}^{5} \frac{d}{d q} [{(2 q + 3)}^{10}] + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ es $f' (g (q)) g' (q)$ donde $f (q) = q^{10}$ y $g (q) = 2 q + 3$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 q + 3$ .

${(5 q^{2} - 4)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{10}] \frac{d}{d q} [2 q + 3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 10$ .

${(5 q^{2} - 4)}^{5} (10 {u_{1}}^{9} \frac{d}{d q} [2 q + 3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 q + 3$ .

${(5 q^{2} - 4)}^{5} (10 {(2 q + 3)}^{9} \frac{d}{d q} [2 q + 3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Mueve $10$ a la izquierda de ${(5 q^{2} - 4)}^{5}$ .

$10 \cdot {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} \frac{d}{d q} [2 q + 3] + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 q + 3$ con respecto a $q$ es $\frac{d}{d q} [2 q] + \frac{d}{d q} [3]$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (\frac{d}{d q} [2 q] + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Paso 3.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $q$ , la derivada de $2 q$ con respecto a $q$ es $2 \frac{d}{d q} [q]$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 \frac{d}{d q} [q] + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ es $n q^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Paso 3.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Paso 3.3.6

Como $3$ es constante con respecto a $q$ , la derivada de $3$ con respecto a $q$ es $0$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 + 0) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Paso 3.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} \cdot 2 + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Paso 3.3.7.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ es $f' (g (q)) g' (q)$ donde $f (q) = q^{5}$ y $g (q) = 5 q^{2} - 4$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 q^{2} - 4$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4])$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4])$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 q^{2} - 4$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} (5 {(5 q^{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4])$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Mueve $5$ a la izquierda de ${(2 q + 3)}^{10}$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 \cdot {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4]$

Paso 3.5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 q^{2} - 4$ con respecto a $q$ es $\frac{d}{d q} [5 q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 4]$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (\frac{d}{d q} [5 q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 4])$

Paso 3.5.3

Como $5$ es constante con respecto a $q$ , la derivada de $5 q^{2}$ con respecto a $q$ es $5 \frac{d}{d q} [q^{2}]$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (5 \frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 4])$

Paso 3.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ es $n q^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (5 (2 q) + \frac{d}{d q} [- 4])$

Paso 3.5.5

Multiplica $2$ por $5$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (10 q + \frac{d}{d q} [- 4])$

Paso 3.5.6

Como $- 4$ es constante con respecto a $q$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $q$ es $0$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (10 q + 0)$

Paso 3.5.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.7.1

Suma $10 q$ y $0$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (10 q)$

Paso 3.5.7.2

Multiplica $10$ por $5$ .

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Factoriza $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ de $20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$ .

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Paso 3.6.1.1

Factoriza $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ de $20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9}$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4)) + 50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$

Paso 3.6.1.2

Factoriza $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ de $50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4)) + 10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (5 (2 q + 3) q)$

Paso 3.6.1.3

Factoriza $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ de $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4)) + 10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (5 (2 q + 3) q)$ .

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$

Paso 3.6.2

Reordena los factores de $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$ .

$10 {(2 q + 3)}^{9} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$p' = 10 {(2 q + 3)}^{9} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$

Paso 5

Reemplaza $p'$ con $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = 10 {(2 q + 3)}^{9} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$