Cálculo Ejemplos

$\cos (r) + \cot (x) = e^{r x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\cos (r) + \cot (x)) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (r) + \cot (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (r)]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = r$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $r$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Paso 2.2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $r$ .

$- \sin (r) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [r]$ como $r'$ .

$- \sin (r) r' + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Paso 2.3

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = r x$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $r x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $r x$ .

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = r$ y $g (x) = x$ .

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [r])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{r x} (r \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [r])$

Paso 3.3.2

Multiplica $r$ por $1$ .

$e^{r x} (r + x \frac{d}{d x} [r])$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [r]$ como $r'$ .

$e^{r x} (r + x r')$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{r x} r + e^{r x} (x r')$

Paso 3.5.2

Reordena los términos.

$e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Paso 5

Resuelve $r'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica $- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ .

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Paso 5.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1.1.1

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Paso 5.1.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Paso 5.1.1.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \sin (r) r' - \frac{1}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Paso 5.1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Paso 5.1.1.2.2

Reescribe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Paso 5.1.1.2.3

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Paso 5.1.1.3

Reordena los factores en $- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en $e^{r x} r + e^{r x} x r'$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = r e^{r x} + x r' e^{r x}$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que contengan $r'$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $x r' e^{r x}$ de ambos lados de la ecuación.

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Paso 5.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Paso 5.3.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- r' \sin (r) - \frac{1}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Paso 5.3.3.3

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Paso 5.4

Suma $\csc^{2} (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$- r' \sin (r) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Paso 5.5

Factoriza $r'$ de $- r' \sin (r) - x r' e^{r x}$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $r'$ de $- r' \sin (r)$ .

$r' (- 1 \sin (r)) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Paso 5.5.2

Factoriza $r'$ de $- x r' e^{r x}$ .

$r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Paso 5.5.3

Factoriza $r'$ de $r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x})$ .

$r' (- 1 \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Paso 5.6

Reescribe $- 1 \sin (r)$ como $- \sin (r)$ .

$r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Paso 5.7

Divide cada término en $r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ por $- \sin (r) - x e^{r x}$ y simplifica.

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Paso 5.7.1

Divide cada término en $r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ por $- \sin (r) - x e^{r x}$ .

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Paso 5.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.7.2.1

Cancela el factor común de $- \sin (r) - x e^{r x}$ .

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Paso 5.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Paso 5.7.2.1.2

Divide $r'$ por $1$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Paso 5.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.7.3.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.7.3.1.1.1

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Paso 5.7.3.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Paso 5.7.3.1.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Paso 5.7.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Paso 5.7.3.1.3

Multiplica $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ por $\frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Paso 5.7.3.2

Para escribir $\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Paso 5.7.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.7.3.3.1

Multiplica $\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Paso 5.7.3.3.2

Reordena los factores de $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Paso 5.7.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Paso 5.7.3.5

Factoriza $- 1$ de $- \sin (r)$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - x e^{r x})}$

Paso 5.7.3.6

Factoriza $- 1$ de $- x e^{r x}$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - (x e^{r x}))}$

Paso 5.7.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (\sin (r)) - (x e^{r x})$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r) + x e^{r x}))}$

Paso 5.7.3.8

Reescribe los negativos.

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Paso 5.7.3.8.1

Reescribe $- (\sin (r) + x e^{r x})$ como $- 1 (\sin (r) + x e^{r x})$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- 1 (\sin (r) + x e^{r x}))}$

Paso 5.7.3.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r' = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$

Paso 6

Reemplaza $r'$ con $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$