Cálculo Ejemplos

$r = 7 \ln (\sqrt[3]{t})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{t}$ como $t^{\frac{1}{3}}$ .

$r = 7 \ln (t^{\frac{1}{3}})$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (r) = \frac{d}{d t} (7 \ln (t^{\frac{1}{3}}))$

Paso 3

La derivada de $r$ con respecto a $t$ es $r'$ .

$r'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Como $7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $7 \ln (t^{\frac{1}{3}})$ con respecto a $t$ es $7 \frac{d}{d t} [\ln (t^{\frac{1}{3}})]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\ln (t^{\frac{1}{3}})]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = t^{\frac{1}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t^{\frac{1}{3}}$ .

$7 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

Paso 4.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$7 (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{\frac{1}{3}}$ .

$7 (\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Combina $\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}$ y $7$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 4.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 4.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 4.7.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

Paso 4.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 4.10

Multiplica $\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 t^{- \frac{2}{3}}}{t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

Paso 4.11

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.11.1

Mueve $3$ a la izquierda de $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7 t^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot t^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.11.2

Mueve $t^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{3 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.12

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.12.1

Multiplica $t^{\frac{1}{3}}$ por $t^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.12.1.1

Mueve $t^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{7}{3 (t^{\frac{2}{3}} t^{\frac{1}{3}})}$

Paso 4.12.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{7}{3 t^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Paso 4.12.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7}{3 t^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Paso 4.12.1.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{7}{3 t^{\frac{3}{3}}}$

Paso 4.12.1.5

Divide $3$ por $3$ .

$\frac{7}{3 t^{1}}$

Paso 4.12.2

Simplifica $3 t^{1}$ .

$\frac{7}{3 t}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$r' = \frac{7}{3 t}$

Paso 6

Reemplaza $r'$ con $\frac{d r}{d t}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{7}{3 t}$