Cálculo Ejemplos

$r = \cos (x) \cot (x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} (\cos (x) \cot (x))$

Paso 2

La derivada de $r$ con respecto a $x$ es $r'$ .

$r'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \cot (x)$ .

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.2

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \sin (x))$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reordena los términos.

$- \csc^{2} (x) \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Paso 3.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Paso 3.4.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Paso 3.4.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Paso 3.4.2.4

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \cot (x) \sin (x)$

Paso 3.4.2.5

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.5.1

Agrega paréntesis.

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - (\cot (x) \sin (x))$

Paso 3.4.2.5.2

Reescribe $- \cot (x) \sin (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

Paso 3.4.2.5.3

Cancela los factores comunes.

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos (x)$

Paso 3.4.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \cos (x)$

Paso 3.4.3.2

Separa las fracciones.

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \cos (x)$

Paso 3.4.3.3

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cot (x)) - \cos (x)$

Paso 3.4.3.4

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x) - \cos (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$r' = - \csc (x) \cot (x) - \cos (x)$

Paso 5

Reemplaza $r'$ con $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = - \csc (x) \cot (x) - \cos (x)$