Cálculo Ejemplos

$r = M^{2} (\frac{c}{2} - \frac{M}{3})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d M} (r) = \frac{d}{d M} (M^{2} (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}))$

Paso 2

La derivada de $r$ con respecto a $M$ es $r'$ .

$r'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d M} [f (M) g (M)]$ es $f (M) \frac{d}{d M} [g (M)] + g (M) \frac{d}{d M} [f (M)]$ donde $f (M) = M^{2}$ y $g (M) = \frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ .

$M^{2} \frac{d}{d M} [\frac{c}{2} - \frac{M}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ con respecto a $M$ es $\frac{d}{d M} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]$ .

$M^{2} (\frac{d}{d M} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Paso 3.2.2

Como $\frac{c}{2}$ es constante con respecto a $M$ , la derivada de $\frac{c}{2}$ con respecto a $M$ es $0$ .

$M^{2} (0 + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Paso 3.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]$ .

$M^{2} \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Paso 3.2.4

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $M$ , la derivada de $- \frac{M}{3}$ con respecto a $M$ es $- \frac{1}{3} \frac{d}{d M} [M]$ .

$M^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d M} [M]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Paso 3.2.5

Combina $M^{2}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{M^{2}}{3} \frac{d}{d M} [M] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ es $n M^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{M^{2}}{3} \cdot 1 + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Paso 3.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Paso 3.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ es $n M^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) (2 M)$

Paso 3.2.9

Mueve $2$ a la izquierda de $\frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + 2 \cdot (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) M$

Paso 3.3

Combina $- \frac{M^{2}}{3}$ y $2 (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) M$ mediante un denominador común.

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Paso 3.3.1

Reordena $- \frac{M^{2}}{3}$ y $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ .

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) - \frac{M^{2}}{3}$

Paso 3.3.2

Para escribir $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{M^{2}}{3}$

Paso 3.3.3

Combina $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot 3}{3} - \frac{M^{2}}{3}$

Paso 3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot 3 - M^{2}}{3}$

Paso 3.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) - M^{2}}{3}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 M (- \frac{M}{3}) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Paso 3.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{M}{3}$ al numerador.

$\frac{6 M \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Paso 3.5.2.1.1.2

Factoriza $3$ de $6 M$ .

$\frac{3 (2 M) \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Paso 3.5.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 M) \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Paso 3.5.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2 M (- M) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Paso 3.5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 M \cdot M + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Paso 3.5.2.1.3

Eleva $M$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (M^{1} M) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Paso 3.5.2.1.4

Eleva $M$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (M^{1} M^{1}) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Paso 3.5.2.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 M^{1 + 1} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Paso 3.5.2.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 2 M^{2} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Paso 3.5.2.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.7.1

Factoriza $2$ de $6 M$ .

$\frac{- 2 M^{2} + 2 (3 M) \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Paso 3.5.2.1.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 M^{2} + 2 (3 M) \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Paso 3.5.2.1.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 M^{2} + 3 M c - M^{2}}{3}$

Paso 3.5.2.2

Resta $M^{2}$ de $- 2 M^{2}$ .

$\frac{- 3 M^{2} + 3 M c}{3}$

Paso 3.5.3

Factoriza $3 M$ de $- 3 M^{2} + 3 M c$ .

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Paso 3.5.3.1

Factoriza $3 M$ de $- 3 M^{2}$ .

$\frac{3 M (- M) + 3 M c}{3}$

Paso 3.5.3.2

Factoriza $3 M$ de $3 M c$ .

$\frac{3 M (- M) + 3 M (c)}{3}$

Paso 3.5.3.3

Factoriza $3 M$ de $3 M (- M) + 3 M (c)$ .

$\frac{3 M (- M + c)}{3}$

Paso 3.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 M (- M + c)}{3}$

Paso 3.5.4.2

Divide $M (- M + c)$ por $1$ .

$M (- M + c)$

Paso 3.5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$M (- M) + M c$

Paso 3.5.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- M \cdot M + M c$

Paso 3.5.7

Multiplica $M$ por $M$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.7.1

Mueve $M$ .

$- (M \cdot M) + M c$

Paso 3.5.7.2

Multiplica $M$ por $M$ .

$- M^{2} + M c$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$r' = - M^{2} + M c$

Paso 5

Reemplaza $r'$ con $\frac{d r}{d M}$ .

$\frac{d r}{d M} = - M^{2} + M c$