Cálculo Ejemplos

$y = \frac{4 x}{1 - \cot (x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x}{1 - \cot (x)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x}{1 - \cot (x)}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - \cot (x)}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - \cot (x)}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 1 - \cot (x)$ .

$4 \frac{(1 - \cot (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \frac{(1 - \cot (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.3.2

Multiplica $1 - \cot (x)$ por $1$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cot (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) - x (- \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.3.7

Multiplica.

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Paso 3.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.3.7.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) + x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.4

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.5

Combina $4$ y $\frac{1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$ .

$\frac{4 (1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- \cot (x)) + 4 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.2.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 + 4 (- \cot (x)) + 4 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 - 4 \cot (x) + 4 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 - 4 \cot (x) + 4 (- x \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6.2.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 - 4 \cot (x) - 4 x \csc^{2} (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6.3

Reordena los términos.

$\frac{- 4 x \csc^{2} (x) + 4 - 4 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6.4

Factoriza $4$ de $- 4 x \csc^{2} (x) + 4 - 4 \cot (x)$ .

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Paso 3.6.4.1

Factoriza $4$ de $- 4 x \csc^{2} (x)$ .

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 - 4 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6.4.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 (1) - 4 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6.4.3

Factoriza $4$ de $- 4 \cot (x)$ .

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 (1) + 4 (- \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6.4.4

Factoriza $4$ de $4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x) + 1) + 4 (- \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6.4.5

Factoriza $4$ de $4 (- x \csc^{2} (x) + 1) + 4 (- \cot (x))$ .

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x) + 1 - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6.5

Factoriza $- 1$ de $- x \csc^{2} (x)$ .

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x)) + 1 - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6.6

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 1) - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6.7

Factoriza $- 1$ de $- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x) - 1) - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6.8

Factoriza $- 1$ de $- \cot (x)$ .

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x) - 1) - (\cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6.9

Factoriza $- 1$ de $- (x \csc^{2} (x) - 1) - (\cot (x))$ .

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6.10

Reescribe $- (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))$ como $- 1 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))$ .

$\frac{4 (- 1 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 3.6.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{4 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$