Cálculo Ejemplos

$y = (\frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}})$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 10 x^{5} - 16 x^{2}$ y $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia.

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Paso 4.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $10 x^{5} - 16 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [10 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2.3

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x^{5}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{3} (10 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{x^{3} (10 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2.5

Multiplica $5$ por $10$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2.6

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 16 (2 x)) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2.8

Multiplica $2$ por $- 16$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Paso 4.2.10

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.2.10.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 4.2.10.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}$ .

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Paso 4.2.10.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} (50 x^{4} - 32 x)$ .

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 4.2.10.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) + x^{2} (- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{6}}$

Paso 4.2.10.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) + x^{2} (- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})$ .

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{6}}$

Paso 4.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

Paso 4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}}{x^{4}}$

Paso 4.4

Factoriza $x$ de $x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $x$ de $- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}$ .

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x) + x (- 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x^{4}}$

Paso 4.4.2

Factoriza $x$ de $x (50 x^{4} - 32 x) + x (- 3 (10 x^{3} - 16) x)$ .

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x^{4}}$

Paso 4.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x \cdot x^{3}}$

Paso 4.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x \cdot x^{3}}$

Paso 4.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

Paso 4.6

Factoriza $x$ de $50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x$ .

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Paso 4.6.1

Factoriza $x$ de $50 x^{4}$ .

$\frac{x (50 x^{3}) - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

Paso 4.6.2

Factoriza $x$ de $- 32 x$ .

$\frac{x (50 x^{3}) + x \cdot - 32 - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

Paso 4.6.3

Factoriza $x$ de $- 3 (10 x^{3} - 16) x$ .

$\frac{x (50 x^{3}) + x \cdot - 32 + x (- 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

Paso 4.6.4

Factoriza $x$ de $x (50 x^{3}) + x \cdot - 32$ .

$\frac{x (50 x^{3} - 32) + x (- 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

Paso 4.6.5

Factoriza $x$ de $x (50 x^{3} - 32) + x (- 3 (10 x^{3} - 16))$ .

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

Paso 4.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.7.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x \cdot x^{2}}$

Paso 4.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x \cdot x^{2}}$

Paso 4.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16)}{x^{2}}$

Paso 4.8

Simplifica.

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Paso 4.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3}) - 3 \cdot - 16}{x^{2}}$

Paso 4.8.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.8.2.1.1

Multiplica $10$ por $- 3$ .

$\frac{50 x^{3} - 32 - 30 x^{3} - 3 \cdot - 16}{x^{2}}$

Paso 4.8.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 16$ .

$\frac{50 x^{3} - 32 - 30 x^{3} + 48}{x^{2}}$

Paso 4.8.2.2

Resta $30 x^{3}$ de $50 x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3} - 32 + 48}{x^{2}}$

Paso 4.8.2.3

Suma $- 32$ y $48$ .

$\frac{20 x^{3} + 16}{x^{2}}$

Paso 4.8.3

Factoriza $4$ de $20 x^{3} + 16$ .

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Paso 4.8.3.1

Factoriza $4$ de $20 x^{3}$ .

$\frac{4 (5 x^{3}) + 16}{x^{2}}$

Paso 4.8.3.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{4 (5 x^{3}) + 4 (4)}{x^{2}}$

Paso 4.8.3.3

Factoriza $4$ de $4 (5 x^{3}) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$