Cálculo Ejemplos

$y x + 7 x^{2} y = e^{\ln (3 - 2 x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y x + 7 x^{2} y) = \frac{d}{d x} (e^{\ln (3 - 2 x)})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y x + 7 x^{2} y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$ .

$\frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y x]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y$ y $g (x) = x$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y \cdot 1 + x y' + \frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$

Paso 2.2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$y + x y' + \frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x^{2} y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2} y$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$y + x y' + 7 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$y + x y' + 7 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y + x y' + 7 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y + x y' + 7 (x^{2} y' + y (2 x))$

Paso 2.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$y + x y' + 7 (x^{2} y' + 2 y x)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + x y' + 7 (x^{2} y') + 7 (2 y x)$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$y + x y' + 7 x^{2} y' + 14 y x$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$x y' + 7 x^{2} y' + 14 x y + y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 3.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 3.7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x y' + 7 x^{2} y' + 14 x y + y = - 2$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $14 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + 7 x^{2} y' + y = - 2 - 14 x y$

Paso 5.1.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + 7 x^{2} y' = - 2 - 14 x y - y$

Paso 5.2

Factoriza $x y'$ de $x y' + 7 x^{2} y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x y'$ de $x y'$ .

$x y' \cdot 1 + 7 x^{2} y' = - 2 - 14 x y - y$

Paso 5.2.2

Factoriza $x y'$ de $7 x^{2} y'$ .

$x y' \cdot 1 + x y' (7 x) = - 2 - 14 x y - y$

Paso 5.2.3

Factoriza $x y'$ de $x y' \cdot 1 + x y' (7 x)$ .

$x y' (1 + 7 x) = - 2 - 14 x y - y$

Paso 5.3

Divide cada término en $x y' (1 + 7 x) = - 2 - 14 x y - y$ por $x (1 + 7 x)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x y' (1 + 7 x) = - 2 - 14 x y - y$ por $x (1 + 7 x)$ .

$\frac{x y' (1 + 7 x)}{x (1 + 7 x)} = \frac{- 2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' (1 + 7 x)}{x (1 + 7 x)} = \frac{- 2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (1 + 7 x)}{1 + 7 x} = \frac{- 2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $1 + 7 x$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (1 + 7 x)}{1 + 7 x} = \frac{- 2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 x y}{x (1 + 7 x)} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} + \frac{- 14 y}{1 + 7 x} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} - \frac{14 y}{1 + 7 x} + \frac{- y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} - \frac{14 y}{1 + 7 x} - \frac{y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $- \frac{14 y}{1 + 7 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} - \frac{14 y}{1 + 7 x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (1 + 7 x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{14 y}{1 + 7 x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} - \frac{14 y x}{(1 + 7 x) x} - \frac{y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.3.3.2

Reordena los factores de $(1 + 7 x) x$ .

$y' = - \frac{2}{x (1 + 7 x)} - \frac{14 y x}{x (1 + 7 x)} - \frac{y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 2 - 14 y x}{x (1 + 7 x)} - \frac{y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 2 - 14 y x - y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.3.6

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- 1 (2) - 14 y x - y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- 14 y x$ .

$y' = \frac{- 1 (2) - (14 y x) - y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - (14 y x)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + 14 y x) - y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.3.9

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + 14 y x) - (y)}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.3.10

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2 + 14 y x) - (y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + 14 y x + y)}{x (1 + 7 x)}$

Paso 5.3.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 + 14 y x + y}{x (1 + 7 x)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 + 14 y x + y}{x (1 + 7 x)}$