Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Paso 3.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$1 \frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}}$ por $1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{2 x}$ y $g (x) = 1 + e^{2 x}$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.6

Diferencia.

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Paso 3.6.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.6.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.6.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $(1 + e^{2 x}) e^{2 x}$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 \cdot ((1 + e^{2 x}) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.6.4

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.6.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.6.6

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ es $a^{u_{3}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x + 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.9

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{4 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{4 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.11

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x} \cdot 1}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.13

Combina fracciones.

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Paso 3.13.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.13.2

Multiplica $\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}}$ por $\frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) (2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x})}{e^{2 x} {(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.14.1

Factoriza $1 + e^{2 x}$ de $e^{2 x} {(1 + e^{2 x})}^{2}$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) (2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x})}{(1 + e^{2 x}) (e^{2 x} (1 + e^{2 x}))}$

Paso 3.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + e^{2 x}) (2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x})}{(1 + e^{2 x}) (e^{2 x} (1 + e^{2 x}))}$

Paso 3.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} (1 + e^{2 x})}$

Paso 3.15

Simplifica.

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Paso 3.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} (1 + e^{2 x})}$

Paso 3.15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 x} + 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} (1 + e^{2 x})}$

Paso 3.15.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 x} + 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Paso 3.15.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.15.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.15.4.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Paso 3.15.4.1.2

Multiplica $e^{2 x}$ por $e^{2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.15.4.1.2.1

Mueve $e^{2 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (e^{2 x} e^{2 x}) - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Paso 3.15.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{2 x + 2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Paso 3.15.4.1.2.3

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{4 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Paso 3.15.4.2

Combina los términos opuestos en $2 e^{2 x} + 2 e^{4 x} - 2 e^{4 x}$ .

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Paso 3.15.4.2.1

Resta $2 e^{4 x}$ de $2 e^{4 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 0}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Paso 3.15.4.2.2

Suma $2 e^{2 x}$ y $0$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Paso 3.15.5

Combina los términos.

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Paso 3.15.5.1

Multiplica $e^{2 x}$ por $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{2 x} e^{2 x}}$

Paso 3.15.5.2

Multiplica $e^{2 x}$ por $e^{2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.15.5.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{2 x + 2 x}}$

Paso 3.15.5.2.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{4 x}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{4 x}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{4 x}}$