Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{72}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{72})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{72}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{x^{6}}{12}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6} \ln (x)}{12}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Paso 3.2.2

Como $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{6} \ln (x)}{12}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{12} (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Paso 3.2.4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{12} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{1}{12} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Paso 3.2.6

Combina $x^{6}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Paso 3.2.7

Cancela el factor común de $x^{6}$ y $x$ .

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Paso 3.2.7.1

Factoriza $x$ de $x^{6}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Paso 3.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Paso 3.2.7.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Paso 3.2.7.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{12} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Paso 3.2.7.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{12} (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Paso 3.2.7.2.5

Divide $x^{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- \frac{1}{72}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{6}}{72}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{72} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{72} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{72} (6 x^{5})$

Paso 3.3.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - 6 (\frac{1}{72}) x^{5}$

Paso 3.3.4

Combina $- 6$ y $\frac{1}{72}$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6}{72} x^{5}$

Paso 3.3.5

Combina $\frac{- 6}{72}$ y $x^{5}$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6 x^{5}}{72}$

Paso 3.3.6

Cancela el factor común de $- 6$ y $72$ .

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Paso 3.3.6.1

Factoriza $6$ de $- 6 x^{5}$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{72}$

Paso 3.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.6.2.1

Factoriza $6$ de $72$ .

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 (12)}$

Paso 3.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 12}$

Paso 3.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- x^{5}}{12}$

Paso 3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{12}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{1}{12} (\ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{12}$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{12}$ .

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{\ln (x)}{12} (6 x^{5}) - \frac{x^{5}}{12}$

Paso 3.4.2.2

Combina $6$ y $\frac{\ln (x)}{12}$ .

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 \ln (x)}{12} x^{5} - \frac{x^{5}}{12}$

Paso 3.4.2.3

Combina $\frac{6 \ln (x)}{12}$ y $x^{5}$ .

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{12} - \frac{x^{5}}{12}$

Paso 3.4.2.4

Cancela el factor común de $6$ y $12$ .

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Paso 3.4.2.4.1

Factoriza $6$ de $6 \ln (x) x^{5}$ .

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 (\ln (x) x^{5})}{12} - \frac{x^{5}}{12}$

Paso 3.4.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.4.2.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 (\ln (x) x^{5})}{6 \cdot 2} - \frac{x^{5}}{12}$

Paso 3.4.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 (\ln (x) x^{5})}{6 \cdot 2} - \frac{x^{5}}{12}$

Paso 3.4.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{\ln (x) x^{5}}{2} - \frac{x^{5}}{12}$

Paso 3.4.2.5

Para escribir $\frac{1}{12} x^{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{1}{12} x^{5} \cdot \frac{12}{12} - \frac{x^{5}}{12}$

Paso 3.4.2.6

Combina $\frac{1}{12} x^{5}$ y $\frac{12}{12}$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{1}{12} x^{5} \cdot 12}{12} - \frac{x^{5}}{12}$

Paso 3.4.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{1}{12} x^{5} \cdot 12 - x^{5}}{12}$

Paso 3.4.2.8

Combina $\frac{1}{12}$ y $x^{5}$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{x^{5}}{12} \cdot 12 - x^{5}}{12}$

Paso 3.4.2.9

Combina $\frac{x^{5}}{12}$ y $12$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{x^{5} \cdot 12}{12} - x^{5}}{12}$

Paso 3.4.2.10

Mueve $12$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{12 \cdot x^{5}}{12} - x^{5}}{12}$

Paso 3.4.2.11

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 3.4.2.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{12 x^{5}}{12} - x^{5}}{12}$

Paso 3.4.2.11.2

Divide $x^{5}$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{x^{5} - x^{5}}{12}$

Paso 3.4.2.12

Resta $x^{5}$ de $x^{5}$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{0}{12}$

Paso 3.4.2.13

Cancela el factor común de $0$ y $12$ .

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Paso 3.4.2.13.1

Factoriza $12$ de $0$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{12 (0)}{12}$

Paso 3.4.2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.13.2.1

Factoriza $12$ de $12$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{12 \cdot 0}{12 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{12 \cdot 0}{12 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{0}{1}$

Paso 3.4.2.13.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + 0$

Paso 3.4.2.14

Suma $\frac{\ln (x) x^{5}}{2}$ y $0$ .

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2}$

Paso 3.4.3

Reordena los términos.

$\frac{x^{5} \ln (x)}{2}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{x^{5} \ln (x)}{2}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{5} \ln (x)}{2}$