Cálculo Ejemplos

$x \ln (3 y) = 5 x y^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x \ln (3 y)) = \frac{d}{d x} (5 x y^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (3 y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (3 y)] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 y$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 y$ .

$x (\frac{1}{3 y} \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.3.1

Combina $\frac{1}{3 y}$ y $x$ .

$\frac{x}{3 y} \frac{d}{d x} [3 y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x}{3 y} (3 \frac{d}{d x} [y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.3.1

Combina $3$ y $\frac{x}{3 y}$ .

$\frac{3 x}{3 y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3 y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{x}{y} y' + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5

Combina $\frac{x}{y}$ y $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) \cdot 1$

Paso 2.7

Multiplica $\ln (3 y)$ por $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y)$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x y^{3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{3}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$5 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$5 (3 \cdot x y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Paso 3.7

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Paso 3.8

Simplifica.

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Paso 3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (3 x y^{2} y') + 5 y^{3}$

Paso 3.8.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$15 x y^{2} y' + 5 y^{3}$

Paso 3.8.3

Reordena los términos.

$5 y^{3} + 15 y^{2} x y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) = 5 y^{3} + 15 y^{2} x y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $15 y^{2} x y'$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, 1, 1$

Paso 5.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$ por $y$ .

$\frac{x y'}{y} y + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y'}{y} y + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

Paso 5.3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.2.1.2.1

Mueve $y$ .

$x y' + \ln (3 y) y - 15 (y \cdot y^{2}) x y' = 5 y^{3} y$

Paso 5.3.2.1.2.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.2.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$x y' + \ln (3 y) y - 15 (y^{1} y^{2}) x y' = 5 y^{3} y$

Paso 5.3.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{1 + 2} x y' = 5 y^{3} y$

Paso 5.3.2.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{3} x y' = 5 y^{3} y$

Paso 5.3.2.2

Reordena los factores en $x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{3} x y'$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{3} y$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $y^{3}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.3.1.1

Mueve $y$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 (y \cdot y^{3})$

Paso 5.3.3.1.2

Multiplica $y$ por $y^{3}$ .

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Paso 5.3.3.1.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 (y^{1} y^{3})$

Paso 5.3.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{1 + 3}$

Paso 5.3.3.1.3

Suma $1$ y $3$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4}$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Resta $y \ln (3 y)$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Paso 5.4.2

Factoriza $x y'$ de $x y' - 15 y^{3} x y'$ .

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Paso 5.4.2.1

Factoriza $x y'$ de $x y'$ .

$x y' \cdot 1 - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Paso 5.4.2.2

Factoriza $x y'$ de $- 15 y^{3} x y'$ .

$x y' \cdot 1 + x y' (- 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Paso 5.4.2.3

Factoriza $x y'$ de $x y' \cdot 1 + x y' (- 15 y^{3})$ .

$x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Paso 5.4.3

Divide cada término en $x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$ por $x (1 - 15 y^{3})$ y simplifica.

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Paso 5.4.3.1

Divide cada término en $x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$ por $x (1 - 15 y^{3})$ .

$\frac{x y' (1 - 15 y^{3})}{x (1 - 15 y^{3})} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Paso 5.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' (1 - 15 y^{3})}{x (1 - 15 y^{3})} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Paso 5.4.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (1 - 15 y^{3})}{1 - 15 y^{3}} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Paso 5.4.3.2.2

Cancela el factor común de $1 - 15 y^{3}$ .

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Paso 5.4.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (1 - 15 y^{3})}{1 - 15 y^{3}} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Paso 5.4.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Paso 5.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} - \frac{y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} - \frac{y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$